História
A trigonometria teve seu início na antiguidade remota, quando se acreditava que os planetas descreviam órbitas circulares em redor da Terra. O termo "trigonometria" foi derivado do grego τρίγωνον trigōnon, "triângulo" e μέτρον metron, "medida". Os primeiros estudos de triângulos remontam ao segundo milênio A.C., na matemática egípcia (Rhind Mathematical Papyrus) e matemática babilônica. O objeto inicial da trigonometria era o tradicional problema da resolução de triângulos.

Trigonometria no triângulo retângulo

No triângulo retângulo, os ângulos notáveis (0º,30º, 45º, 60º e 90º) possuem valores que são constantes e são representados pelas relações seno, cosseno e tangente.

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas são as relações no triângulos retângulo das razões entre os lados do triângulo em função do ângulo, formando os catetos oposto e adjacente e a hipotenusa.

Cateto oposto

Cateto oposto é o que fica no lado oposto ao ângulo referência.

Exemplo 1.
Qual é o cateto oposto ao ângulo alfa, na figura acima?
Resposta: Cateto "c".

Exemplo 2
Qual é o cateto oposto ao ângulo beta, na figura acima?
Resposta: Cateto "b".

Cateto adjacente

Cateto adjacente é o que está no lado (adjacente) do ângulo de referência.

Exemplo 3
Qual é o cateto adjacente ao ângulo alfa, na figura acima?
Resposta: Cateto "b".

Exemplo 4.
Qual é o cateto adjacente ao ângulo beta, na figura acima?
Resposta: Cateto "c".

Hipotenusa

Hipotenusa é o lado mais longo do triângulo.

Exemplo 5.
Qual é lado que representa a hipotenusa, na figura acima?
Resposta: Lado "a".

Seno (sen)

Seno é dado pela do cateto oposto sobre a hipotenusa.

$$\sin \alpha = \frac{cateto .oposto(\alpha)}{hipotenusa} = \frac{c}{a}$$

$$\sin \beta = \frac{cateto .oposto(\beta)}{hipotenusa} = \frac{b}{a}$$

Exemplo 6.
Com base na figura 2, calcule: a) o seno do ângulo alfa, b) o seno do ângulo beta.
Respostas.
a)$$\sin \alpha = \frac{cateto .oposto(\alpha)}{hipotenusa} = \frac{3}{5}$$
b)$$\sin \beta = \frac{cateto .oposto(\beta)}{hipotenusa} = \frac{4}{5}$$

Cosseno (cos)

Cosseno é dado pela razão entre o cateto adjacente sobre a hipotenusa.

$$\cos \alpha = \frac{cateto.adjacente(\alpha)}{hipotenusa} = \frac{b}{a}$$

$$\cos \beta = \frac{cateto.adjacente(\beta)}{hipotenusa} = \frac{c}{a}$$

Exemplo 7.
Com base na figura 2, calcule: a) o cosseno do ângulo alfa, b) o cosseno do ângulo beta.
Respostas.
a)$$\cos \alpha = \frac{cateto.adjacente}{hipotenusa} = \frac{4}{5}$$
b) $$\cos \beta = \frac{cateto.adjacente}{hipotenusa} = \frac{3}{5}$$

Tangente (tan ou tg)

Tangente é a razão dada pelo cateto oposto sobre a hipotenusa.

$$\tan \alpha = \frac{cateto.oposto(\alpha)}{cateto.adjacente(\alpha)} = \frac{c}{b}$$

$$\tan \beta = \frac{cateto.oposto(\beta)}{cateto.adjacente(\beta)} = \frac{b}{c}$$

$$\tan \alpha = \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{c}{b}$$

Exemplo 8.
Com base na figura 2, calcule: a) a tangente do ângulo alfa, b) a tangente do ângulo beta.
Respostas.
a)$$\tan \alpha = \frac{cateto.oposto}{cateto. adjacente} = \frac{3}{4}$$
b)$$\tan \beta = \frac{cateto.oposto}{cateto. adjacente} = \frac{4}{3}$$

Relação fundamental da trigonometria $$sen^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1 $$ Sendo α um ângulo agudo.

Exemplo 9.
Sabendo que o sen (37°) = 0,60 calcule:
a) o cos (37°) = ?
b) a tan (37°) = ?
Solução.
a) $$sen^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1 $$ $$sen^2(37°)+cos^2(37°)=1 $$ $$(0,6)^2+cos^2(37°)=1 $$ $$cos^2(37°)=1-0,36 $$ $$cos(37°)=\sqrt{0,64}=0,80 $$ $$cos(37°)=0,80 $$ b)$$\tan \alpha = \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)} $$ $$\tan(37°)= \frac{sen(37°)}{cos(37°)}= \frac{0,60}{0,80}$$ $$\tan(37°)=0,75$$

Círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico é disposição no plano cartesiano para facilitar a visualização das funções trigonométricas durante o estudo da trigonometria.

Exemplo 10.
Com base nas informações do círculo trigonométrico, figura acima. Responda:
a) cos (120°) = ?
b) sen (120°) = ?
c) cos (210°) = ?
d) sen (210°) = ?
Solução.
a) Observando o eixo dos cossenos, linha horizontal em vermelho, temos que: cos (120°) = -0,5.(2° quadrante)
b) Observando o eixo dos senos, linha vertical, em verde, temos que sen (120°) = 0,87.(2° quadrante)
c) Observando o eixo dos cossenos, linha horizontal em vermelho, temos que: cos (210°) = -0,87.(3° quadrante)
d) Observando o eixo dos senos, linha vertical, em verde, temos que sen (210°) = -0,5.(3° quadrante)