TRIÂNGULO QUALQUER

LEI DOS SENOS
Para qualquer triângulo ABC, sendo R o raio da circunferência circunscrita, vale a relação: $$ \frac{a}{sen(A)} =\frac{b} {sen(B)}=\frac{c}{sen(C)}= 2R$$

Exemplo 1.
Em um triângulo ABC são dados: a=10 cm, A=30° e B=45°.
a) Calcule o raio da circunfência circunscrita.
b) Calcule o comprimento do lado b.
c) Calcule o ângulo C.
Solução. a)$$ \frac{a}{sen(A)}= 2R \Rightarrow \frac{10}{0,5}= 2R$$ $$ \frac{10}{0,5}= 2R \Rightarrow R=10 cm$$ b)$$ \frac{b}{sen(B)}= 2R \Rightarrow \frac{b}{sen(45°)}= 2(10)$$ $$ \frac{b}{0,71}= 20 \Rightarrow b=14,2 cm$$ c) $$A+B+C=180° \Rightarrow $$ $$30°+45°+C=180° \Rightarrow $$ $$75°+C=180° \Rightarrow C=105°$$

Exemplo 2.
O raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, indicado abaixo, tem comprimento
a) 3cm b) 12 cm c) 6 cm d) 3√2 cm e) 6√2 cm.

Solução. $$\frac{b}{sen(B)}=2R \Rightarrow$$ $$\frac{6}{sen(45°)}=2R \Rightarrow$$ $$\frac{6}{\sqrt{2}/2}=2R \Rightarrow$$ $$6=\sqrt{2}R \Rightarrow R=3\sqrt{2} cm $$ Resposta. d

Exemplo 3.
Num triângulo isósceles, a base mede 9 cm e o ângulo oposto à base mede 120°. Calcule a medida dos lados congruentes do triângulo.
Solução.
Como o triângulo é isósceles os outros dois ângulos são iguais a 30°, cada um. Aplicando a lei dos senos, temos: $$ \frac{a}{sen(A)} =\frac{b} {sen(B)}$$ $$ \frac{9}{sen(120°)} =\frac{x} {sen(30°)}$$ $$ \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =\frac{x} {\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{9}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$$ $$ x=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$$ $$ x=3\sqrt{3} cm$$

LEI DOS COSSENOS
Para todo triângulo ABC, vale a relação: $$a^2 = b^2 + c^2 – 2.b.c. cos(A)$$

Exemplo 4.
Em um triângulo ABC são dados: b=3 cm, c=8 cm e A=60°.
Calcule o comprimento do lado "a".
Solução.$$a^2 = b^2 + c^2 – 2.b.c. cos(A) \Rightarrow$$ $$a^2 = 3^2 + 8^2 – 2.3.8. cos(60°) \Rightarrow$$ $$a^2 = 9+64–48(0,5) \Rightarrow$$ $$a^2=49 \Rightarrow $$ $$a= \sqrt{49}=7 cm $$

Exemplo 5.
Em um triângulo ABC são dados: a=11 cm, b=5 cm e c=12 cm.
Calcule o cosseno do ângulo "A".
Solução.$$a^2 = b^2 + c^2 – 2.b.c. cos(A) \Rightarrow$$ $$11^2 = 5^2 + 12^2 –2.5.12. cos(A) \Rightarrow$$ $$121=25+144–120.cos(A) \Rightarrow$$ $$121=169-120.cos(A) \Rightarrow $$ $$120.cos(A)=48 \Rightarrow $$ $$cos(A)=\frac{48}{120}=\frac{2}{5} = 0,4 $$

Exemplo 6.
Um triângulo T tem os lados iguais a 4,5 e 6. O co-seno do maior ângulo de T é:
a) 5/6 b) 4/5 c) 3/4 d) 2/3 e) 1/8
Solução.
O maior ângulo é oposto ao maior lado, no caso o lado que vale 6.$$a^2 = b^2 + c^2 – 2.b.c. cos(A) \Rightarrow$$ $$6^2 = 5^2 + 4^2 –2.5.4. cos(A) \Rightarrow$$ $$-5=–40.cos(A) \Rightarrow$$ $$cos(A)=\frac{5}{40}= \frac{1}{8}$$ Resposta: e

Exemplo 7.
O ângulo agudo de um losângo mede 30° seus lados medem 6 cm. Qual a mediada da:
a) diagonal menor.
b) diagonal maior.
Solução.
a) O lado oposto ao ângulo de 30° é a diagonal menor(menor ângulo). Aplicando a lei dos cossenos, temos: $$a^2 = b^2 + c^2 – 2.b.c.cos(A)$$ $$x^2 = 6^2 + 6^2 – 2.6.6.cos(30°)$$ $$x^2 = 36 + 36 – 72.0,87$$ $$x^2 = 72 – 62,35=9,65$$ $$x =\sqrt{9,65}=3,11$$ A diagonal menor mede 3,11 cm.

b) O lado oposto ao ângulo de 150° é a diagonal maior(maior ângulo). Aplicando a lei dos cossenos, temos: $$a^2 = b^2 + c^2 – 2.b.c.cos(A)$$ $$t^2 = 6^2 + 6^2 – 2.6.6.cos(150°)$$ $$t^2 = 36 + 36 – 72.(-0,87)$$ $$t^2 = 72 + 62,35=134,35$$ $$t =\sqrt{134,35}=11,59$$ A diagonal maior mede 11,59 cm.

Exemplo 8.
Dois lados de um triângulo medem 8 m e 10 m e formam um ângulo de 60°. Quanto mede o terceiro lado desse triângulo?
Solução. $$a^2 = b^2 + c^2 – 2.b.c.cos(A)$$ $$x^2 = 8^2 + 10^2 – 2.8.10.cos(60°)$$ $$x^2 = 64 + 100 – 160(0,5)$$ $$x^2 = 164 – 80=84$$ $$x =\sqrt 84=2\sqrt21$$ $$x=2\sqrt21 m$$

Exemplo 9.
João está procurando cercar um terreno triangular que ele comprou no campo. Ele sabe que dois lados desse terreno medem, respectivamente, 10 m e 6 m e formam entre si um ângulo de 120°. O terreno será cercado com três voltas de arame farpado. Se o preço do metro do arame custa R$ 5,00, qual será o valor gasto por João com a compra do arame? Dados: sen de 120°=0,87; cos de 120°= −0,5
Solução.
1°. Cálculo da medida do terceiro lado do terreno, lei dos cossenos. $$a^2 = b^2 + c^2 – 2.b.c.cos(A)$$ $$a^2 = 10^2 + 6^2 – 2.10.6.cos(120°)$$ $$a^2 = 100 + 36 – 2.10.6.(-0,5)$$ $$a^2 = 136 + 60=196$$ $$a =\sqrt196\Rightarrow a=14 m$$ 2°. Cálculo do perímetro. $$p=a+b+c \Rightarrow p=10+6+14=30 m$$ 3°. Cálculo do custo para três voltas. $$3\cdot 30 \cdot 5= 450$$ Resposta: R$ 450,00

Com relação aos lados "b" e "c" a lei dos cossenos é escrita nas formas abaixo. $$b^2 = a^2 + c^2 – 2.a.c. cos(B)$$ $$c^2 = a^2 + b^2 – 2.a.b. cos(C)$$

Exemplo 10
Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B, C. O comandante, quando o navio está em A, observa um farol L e calcula o ângulo LAC=30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo LBC=75°. Quantas milhas separam o farol do ponto B?
Solução.
Aplicando a lei dos senos ao triângulo formado pelos pontos ABL. Onde os ângulos valem: A=30°, B=105°, L=45° e a distância AB=4 milhas, temos: $$ \frac{a}{sen(A)} =\frac{b} {sen(B)}=\frac{c}{sen(C)}$$ $$ \frac{x}{sen(30°)} =\frac{4} {sen(45)}$$ $$\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{\frac{\sqrt{2}} {2}}$$ $$x=2\sqrt{2} milhas$$