Triângulos

São os polígonos mais simples, só 3 lados e 3 ângulos. São muito importantes porque todo e qualquer polígono pode ser decomposto em triângulos.

Classificação quanto aos lados.

Triângulo equilátero: tem três lados congruentes. $$a=b=c$$

Triângulo isósceles: tem dois lados congruentes; o outro lado é a base.$$a \neq b$$

Triângulo escaleno: quaisquer dois lados não são congruentes.$$a \neq b \neq c$$

Classificação quanto aos ângulos.
Triângulo acutângulo: os três ângulos são agudos (figura a).
Triângulo retângulo: tem um ângulo reto (figura b).
Triângulo obtusângulo: tem um ângulo obtuso (figura c).

PROPRIEDADES
A.Desigualdade triangular: Em qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempre menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
Observação prática. Para verificar a existência de um triângulo quando são conhecidas as medidas de seus três lados, basta verificar se a soma das medidas dos dois lados menores é maior que a medida do lado maior.

B. Soma dos ângulos internos: $$A+B+C=180°$$

C. Ângulo externo: é igual à soma dos internos não adjacentes.

D. A soma dos três ângulos externos é igual a 360°.

Exemplo 1
Verifique se existem triângulos cujos lados tenham as medidas abaixo:
a) 7 cm, 10 cm e 15 cm
b) 6 cm, 6 cm e 6 cm
c) 4 cm, 5 cm e 10 cm
d) 3 cm, 7 cm e 10 cm
Solução.
a) $$7+10>15$$ Sim existe.
b) $$6+6>6$$ Sim existe.
c) $$4+5<15$$ Não existe.
d) $$3+7=10$$ Não existe.

Semelhança de Triângulos
Para que dois polígonos sejam semelhantes são necessárias duas condições:
1°) os ângulos correspondentes têm de ser congruentes;
2°) os lados homólogos têm de ser proporcionais.

Critérios de Semelhança de Triângulos
a) Critério A.A.(ângulo, ângulo). Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um são congruentes a dois ângulos do outro.
b) Critério L.L.L.(lado, lado, lado). Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro.
c) Critério L.A.L. (lado, ângulo, lado). Dois triângulos são semelhantes se possuem um par de ângulos congruentes compreendidos entre lados proporcionais.

Exemplo 2
Qual é a medida do lado(x) do quadrado ABCD da figura?
Dados: AF=2 e AE=3.

Solução.
Por semelhança de triângulos entre BCE e AEF, temos: $$\frac{AF}{AE}=\frac{BC}{BE}\Rightarrow$$ $$\frac{2}{3}=\frac{x}{3-x}\Rightarrow 6-2x=3x\Rightarrow$$ $$6=5x\Rightarrow x=\frac{6}{5}=1,2$$ Resposta: x=1,2

Mediana: segmento que liga o vértice ao ponto médio do lado oposto. Baricentro: ponto de intersecção das medianas.

Altura: segmento que sai de um vértice e é perpendicular à reta que contém o lado oposto. Ortocentro: ponto de encontro das alturas.

Bissetriz interna: segmento que divide o ângulo interno ao meio; divide o lado oposto em duas partes proporcionais aos lados adjacentes. Incentro: ponto de intersecção das bissetrizes internas. É o centro do círculo inscrito no triângulo.

Mediatriz: reta perpendicular ao lado, pelo ponto médio. Circuncentro: ponto de encontro das mediatrizes. É o centro do círculo circunscrito ao triângulo.

PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS ISÓSCELES e EQUILÁTERO:
• Num triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.
• Num triângulo isósceles coincidem a mediana, a altura, a bissetriz e a mediatriz relativas à base.
• Num triângulo equilátero cada ângulo mede 60.
• Num triângulo equilátero coincidem o baricentro, o ortocentro, o incentro e o circuncentro.

Exemplo 3
Num triângulo isósceles, os ângulos da base medem 50º cada um. Quanto mede o outro ângulo?
Solução. $$50+50+x=180 \Rightarrow$$ $$x=180-100=80°$$ Resposta: 80°

Exemplo 4
Num triângulo isósceles, o ângulo diferente mede 110º. Quanto medem os outros dois ângulos?
Solução. $$x+5x+110=180 \Rightarrow$$ $$2x=180-110=70°$$ $$x=\frac{70°}{2}=35°$$ Resposta: 35° e 35°(triângulo isósceles).

A razão de semelhança é a razão entre dois lados correspondentes; é também a razão entre duas alturas correspondentes, ou duas medianas correspondentes, e é também a razão entre os perímetros. A razão das áreas é o quadrado da razão de semelhança.

Propriedade. O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro e é metade do terceiro lado.

TRIÂNGULO RETÂNGULO:

RELAÇÕES MÉTRICAS.
Teorema de Pitágoras: $$a^2 = b^2 + c^2$$ 1) $$b^2 = a.m$$
2)$$ c^2 = a.n$$
3)$$ h^2 = m.n$$
4)$$ b.c = a.h$$

Exemplo 5
Dado o triângulo ABC abaixo, determine:
a) a, b) h, c) m e d) n. Obs. Medidas de comprimento em cm.

Solução.
a)$$a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow a^2 = 16^2 + 12^2$$ $$a^2=256+144 \Rightarrow a^2=400$$ $$a=\sqrt{400}=20 cm$$ b) $$ b.c = a.h \Rightarrow 16.12=20.h \Rightarrow$$ $$ 192=20.h \Rightarrow h=\frac{192}{20}=9,6 cm$$ c)$$b^2 = a.m \Rightarrow 16^2=20.m \Rightarrow$$ $$256=20.m \Rightarrow m=12,8 cm$$ d)$$ c^2 = a.n \Rightarrow 12^2 = 20.n \Rightarrow$$ $$ 144= 20.n \Rightarrow n=7,2 cm$$

Cevianas do Triângulo.
Ceviana é qualquer segmento de reta que tem uma extremidade num vértice de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte do lado oposto a esse vértice.
Cevianas Notáveis.
Bissetriz interna (S) é qualquer ceviana que divide um ângula interno em dois ãngulos congruentes.
Mediana (M) é qualquer ceviana que tem como pé o ponto médio de um lado.
Altura(H) é qualquer ceviana perpendicular a um lado.
Obs. De um modo geral, bissetriz interna, mediana e altura são cevianas distintas, Porém, as três coincidem num único segmento se forem relativas à base de um triângulo isósceles.

Pontos notáveis do Triângulos
Incentro (I) é o ponto de encontro das bissetrizes internas. O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
Baricentro (G) é o ponto de encontro das medianas. O baricentro divide cada mediana em dois segmentos que estão na razão de 2 para 1.
Ortocentro (H) é o ponto de encontro das alturas.
Circuncentro (O) é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados.

O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Obs. No triângulo equilátero, o incentro, o baricentro, o ortocentro e o circuncentro coincidem num único ponto O, chamado centro do triângulo equilátero. Como O é também o baricentro do triângulo, esse ponto divide a altura em segmentos proporcionais a 2 e 1. Assim, se r e R são os raios das circunferências inscrita e circunscrita, e h é a altura, é imediato que r=h/3 e R=2h/3.

Exemplo 6
Um triângulo que tem os três lados congruentes é dito:
a) Triângulo equilátero. b) Triângulo isósceles. c) Triângulo escaleno. d) Triângulo acutângulo. e) Triângulo retângulo.
Solução.
Triângulo equilátero: tem três lados congruentes. Resposta: a)

Exemplo 7
Um triângulo que tem dois lados congruentes e o outro lado é a base é dito:
a) Triângulo equilátero. b) Triângulo isósceles. c) Triângulo escaleno. d) Triângulo acutângulo. e) Triângulo retângulo.
Solução.
Triângulo isósceles: tem dois lados congruentes; o outro lado é a base.
Resposta: b)

Exemplo 8
Um triângulo que tem quaisquer dois lados que não são congruentes é dito:
a) Triângulo equilátero. b) Triângulo isósceles. c) Triângulo escaleno. d) Triângulo acutângulo. e) Triângulo retângulo.
Solução.
Triângulo escaleno: quaisquer dois lados não são congruentes.
Resposta: c)

Exemplo 9
Em relação aos triângulos, quais afirmações são verdadeiras. I. Cada lado é menor que a soma dos outros dois. II. Soma dos ângulos internos: A+B+C=180° III. Ângulo externo: é igual à soma dos internos não adjacentes. IV. A soma dos três ângulos externos é igual a 360°.
a) todas são falsas. b) somente a I. c) a II e III. d) somente a III. d) todas são verdadeiras.
Solução. Ver a teoria inicial referente as "Propriedades dos Triângulos".
Resposta: d)

Exemplo 10
Em relação aos triângulos isósceles, quais afirmações são verdadeiras. I. Os ângulos da base são diferentes. II. Num triângulo isósceles coincidem a mediana, a altura, a bissetriz e a mediatriz relativas à base. III. Ângulo externo: é igual à soma dos internos não adjacentes.
a) todas. b) somente a I. c) II e III. d) somente a III. d) todas são falsas.
Resposta: c)