Quadriláteros convexos

Quadrilátero é um polígono simples de quatro lados. A soma dos seus ângulos internos é igual a 360°, bem como a soma dos seus ângulos externos.

Propriedades gerais

• Soma dos ângulos internos: $$A + B + C + D = 360°$$

• Soma dos ângulos externos: $$S_{externos} = 360°$$

• Quadrilátero inscrito num círculo: ângulos opostos são suplementares.

• Quadrilátero circunscrito a um círculo: lados opostos têm somas iguais.

Exemplo 1.
Dadas as duas afirmações abaixo, responda.
Afirmação 1.Soma dos ângulos internos:A + B + C + D = 270°
Afirmação 2.Soma dos ângulos externos:S_externos = 360°
a) Todas são verdadeiras.
b) Só a I é verdadeira.
c) Só a II é verdadeira.
d) Todas são falsas.
Resposta: c)

1. Quadrado.

Tem quatro lados congruentes e quatro ângulos retos. Diagonal: $$d = a \sqrt{2}$$ e Área: $$S = a²$$

Exemplo 2.
Dado um quadrado de lado 2cm.
a) Calcule a diagonal.
b) Calcule a sua área.
Solução.
a) $$d = a \sqrt{2}=2 \sqrt{2} cm$$
b) $$S = a²=2^2=4 cm^2$$

2. Retângulo.

Tem quatro ângulos retos.$$perímetro = 2a+2b$$ $$Área = ab$$

Exemplo 3.
Dado um retângulo de lados 5cm e 3cm.
a) Calcule o perímetro.
b) Calcule a sua área.
Solução.
a) $$p= 2a+2b=2(5)+2(3)=16cm$$
b) $$S =ab=5(3)=15cm^2$$

3. Losango.

Tem quatro lados congruentes. As diagonais são perpendiculares. $$Área = a \frac{b}{2}$$

Exemplo 4.
Dado um losango de diagonais de medias 6cm e 4cm.
Calcule a sua área.
Solução.
$$S= a \frac{b}{2}=6 \frac{4}{2}=12cm^2$$

4. Paralelogramo.

Tem lados opostos paralelos e congruentes. As diagonais cortam-se ao meio. $$Área= a h$$

Exemplo 5.
Dado um paralelogramo de 5cm de altura e base de media 6cm.
Calcule a sua área.
Solução.
$$S= a h= 6(5)=30cm^2$$

5. Trapézio.

Tem dois lados paralelos (chamados bases).

5.1. Trapézio isósceles: os lados não paralelos são congruentes; os ângulos das bases são congruentes. $$Área= (a+b) \frac{h}{2}$$

Exemplo 6.
Dado um trapézio isósceles de 4cm de altura, base maior de 8cm e base menor de 6cm.
Calcule a sua área.
Solução. $$S=(a+b)\frac{h}{2}=(8+6)\frac{4}{2} \Rightarrow$$ $$S=(14)2=28cm^2$$

5.2. Trapézio retângulo: tem um lado perpendicular às bases. $$Área= (a+b) \frac{h}{2}$$

Exemplo 7.
Dado um trapézio retângulo de 6cm de altura, base maior de 10cm e base menor de 8cm.
Calcule a sua área.
Solução. $$S=(a+b)\frac{h}{2}=(10+8)\frac{6}{2} \Rightarrow$$ $$S=(18)3=54cm^2$$