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Polígonos regulares

Um polígono é equilátero quando todos seus lados são congruentes.

Um polígono e equiângulo quando todos seus ângulos são congruentes.

Um polígono é regular quando é equilátero e equiângulo.

Nome do polígono lados
triângulo 3
quadrado 4
pentágono 5
hexágono 6
heptágono 7
octógono 8
eneágono 9
decágono 10
HEXÁGONO REGULAR. (6 lados e ângulo(60°) congruentes)
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Quantidade de diagonais de um polígono: $$d = \frac{n(n – 3)}{2} $$(onde n = número de lados)

Exemplo 1.
Calcule o número de diagonais de um hexágono.
Solução.
O hexágono tem 6 lados, n=6. Aplicando na fórmula, temos:$$d = \frac{n(n – 3)}{2}= \frac{6(6 – 3)}{2}$$ $$d = \frac{6(6 – 3)}{2}= \frac {6(3)}{2}=9$$ Resposta: 9 diagonais.

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo: $$S_i=(n–2).180°$$

Exemplo 2.
Calcule a soma dos ângulos internos de um heptágono.
Solução.
O heptágono tem 7 lados, n=7. Aplicando a fórmula, temos: $$S_i=(n–2).180°=(7-2).180°$$ $$S_i=(5).180°=900°$$ Resposta: a soma dos ângulos internos de um heptágono é 900°.

Soma dos ângulos externos de um polígono convexo: $$S_e = 360°$$

Exemplo 3.
Qual é a soma dos ângulos externos de:
a) quadrado.
b) octógono.
c) eneágono.
Solução. Soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é sempre 360°.
Respostas: a) 360° b) 360° e c) 360°.

Polígono regular e ângulos.
Sendo, respectivamente, a_i, a_e e alfa as medidas de cada ângulo interno, de cada ângulo externo e do ângulo central de um polígono regular de n lados(ou n vértices), temos: $$a_i= \frac{180°(n-2)}{n}$$ $$a_e= \frac{360°}{n}$$ $$a_i+a_e=180°$$ e $$\alpha= \frac{360°}{n}$$

image/svg+xml o ai ae ai α

Exemplo 4.
Dado um decágono regular, calcule:
a) o ângulo interno(ai).
b) o ângulo externo(ae).
c) o ângulo central(alfa).
Solução. O decágono tem 10 lados, n=10.
a) $$a_i= \frac{180°(n-2)}{n}= \frac{180°(10-2)}{10}$$ $$a_i= \frac{180°(8)}{10}=144°$$
b) $$a_e= \frac{360°}{n}= \frac{360°}{10}=36°$$
c)$$\alpha= \frac{360°}{n}= \frac{360°}{10}=36°$$ Respostas: a) 144° b) 36° e c) 36°.

Exemplo 5.
Dado um heptágono regular, calcule:
a) o ângulo interno(ai).
b) o ângulo externo(ae).
c) o ângulo central(alfa).
Solução. O decágono tem 7 lados, n=7.
a) $$a_i= \frac{180°(n-2)}{n}= \frac{180°(7-2)}{10}$$ $$a_i= \frac{180°(5)}{7}=128,6°=128:36:00$$
b) $$a_e= \frac{360°}{n}= \frac{360°}{7}=5,143°$$ $$5,143°=5:2:23$$
c)$$\alpha= \frac{360°}{n}= \frac{360°}{7}=5,143°$$ $$5,143°=5:2:23$$ Respostas:
a) 128,6° ou 128:36:00
b) 5,143° ou 5:2:23 e
c) 5,143° ou 5:2:23.

Criando polígonos regulares
1. Dividindo-se uma circunferência em n (n>=3) arcos congruentes, temos:
a) todas as cordas determinadas por dois pontos de divisão consecutivos, reunidas, formam um polígono regular de n lados inscrito na circunferência.
b) As tangentes traçadas pelos pontos de divisão determinam um polígono regular de n lados circunscrito á circunferência.

image/svg+xml C' A B C D E A' B' D' O

Obs. As circunferências, inscrita e circunscrita, a um polígono regular são concêntricas.

OCTÓGONO REGULAR (8 lados)

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DECÁGONO REGULAR (10 lados)

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