Circunferência e Círculo

Circunferência. Dado um ponto O do plano e sendo R um número real positivo, chamamos de circunferência de centro O e raio R ao conjunto dos pontos P do plano tais que OP é igual a R. Linha vermelha na figura abaixo.

Círculo. O conjunto dos pontos P do plano tais que OP é igual o menor que R. Área amarela na figura abaixo.

Posições relativas de reta e circunferência.
a) Secantes. A reta secante corta a circunferência em dois pontos distintos.
b) Tangentes. A tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
c) Exteriores. Não tem qualquer ponto de contato com a circunferência.

Posições relativas das circunferências.
Dadas duas circunferências de raios R e r, com r menor que R, e sendo d a distância entre seus centro O e O', dizemos que estas duas circunferências são:
1. exteriores, se d > R+r. fig.1
2. tangentes exteriormente, se d=R+r. fig.2
3. secantes, se R-r menor que d e R+r. fig.3
4. tangentes interiormente, se d=R-r. fig.4
5. interiores, se d menor que R-r.
6. concêntricas, se d=0.

Triângulo retângulo inscrito.
A hipotenusa é o diâmetro. A mediana relativa à hipotenusa é igual ao raio e divide o triângulo em dois triângulos isósceles.

Comprimento de um arco e da circunferência.
Comprimento da circunferência. $$C = 2 \pi R$$ Comprimento de um arco. $$L = \alpha . R $$(alfa em radianos).

Potência de um ponto.
Teorema. Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam em um ponto, então esse ponto divide cada corda em dois segmentos cujo produto é constante.$$ PA \times PB = PC \times PD$$

Ângulo central e ângulo inscrito. A medida do ângulo inscrito é a metade do ângulo central correspondente. BOD=2(DAB)=2(DCB) Semelhança de triângulos DAB~DCB Ângulo excêntrico interior(fig.1): BPD=(AOD+APC)/2 Ângulo excêntrico exterio(fig.2): DPB=(ACO-BOD)/2

Área do círculo e suas partes.
Círculo: $$S = \pi R² $$
Coroa:$$S_{coroa}= \pi (R²– r²) $$

Setor:$$S_{setor}= \frac{ \alpha R²}{2} $$