ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

1) QUADRADO.
Perímetro(p)=soma de todos os lados de uma figura geométrica. $$perímetro=4a$$ $$área=a^2$$

Exemplo 1
Dado um quadrado de lado 5cm.
a) Calcule o seu perímetro.
b) Calcule a sua área.
Solução.
a) $$p=4a=4(5)=20 cm$$ b)$$área=a^2=5^2=25 cm^2$$

2) RETÂNGULO. $$perímetro=2a+2b$$ $$área=a.b$$

Exemplo 2
Dado um retângulo de lados 3cm e 4cm.
a) Calcule o seu perímetro.
b) Calcule a sua área.
Solução.
a) $$p=2a+2b=2(3)+2(4)=14 cm$$ b) $$a=ab=3(4)=12 cm^2$$

3) TRIÂNGULOS.

3.1 TRIÂNGULO EQUILÁTERO.Os três lados e os três ângulos são iguais.

$$perímetro=3a$$ $$área=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Exemplo 3
Dado um triângulo equilátero de lado 8cm.
a) Calcule o seu perímetro.
b) Calcule a sua área. Solução.
Solução.
a) $$p=3a=3(8)=24 cm$$ b) $$a=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3} cm^2$$

3.2 DADO A BASE E ALTURA.

$$área=\frac{a.h}{2}$$

Exemplo 4
Dado um triângulo com 8cm de base e 4cm de altura.
Calcule a sua área.
Solução.$$a=\frac{a.h}{2}=\frac{8.4}{2}=16 cm^2$$

3.3 DADO UM ÂNGULO ENTRE DOIS LADOS.

$$área=\frac{a.b.sen(\alpha)}{2}$$

3.4 FÓRMULA DE HERON.

$$ área= \sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ Onde p é o semiperímetro. $$p= \frac{a+b+c}{2}$$

Exemplo 5
Calcule a área de um triângulo sabendo que dois dos seus lados medem 4 cm e 3 cm, e o ângulo formado entre eles é de 45°.
Solução:
Nesse caso, a área será dada pela fórmula de Heron. $$área=\frac{a.b.sen(\alpha)}{2}=\frac{4.3.sen(45°)}{2}$$ $$área=\frac{6.\sqrt{2}}{2} cm²$$

Exemplo 6
Calcule a área de um triângulo sabendo que cada lado mede: 15 cm, 12 cm e 9 cm.
Solução:
Nesse caso, a área será dada por: $$p= \frac{a+b+c}{2}$$ $$ área= \sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ Vamos calcular primeiro o semiperímetro. $$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+12+9}{2}\Rightarrow$$ $$p=\frac{36}{2}=18 cm$$ Agora vamos finalmente calcular a área. $$ área= \sqrt{18(18-15)(18-12)(18-9)}$$ $$ área= \sqrt{18\cdot3\cdot6\cdot9}= \sqrt{2916}$$ $$ área= 54 cm^2$$

4) PARALELOGRAMO.

$$área=a.h$$

Exemplo 7
Dado um paralelogramo com 10cm de base e 5cm de altura.
Calcule a sua área.
Solução. $$S=a.h=10(5)=50 cm^2$$

5) TRAPÉZIO.

$$área=\frac{(a+b)}{2}h$$

Exemplo 8
Dado um trapézio com 12cm de base maior e 8 cm de base menor e 6cm de altura.
b) Calcule a sua área.
Solução. $$S=\frac{(a+b)}{2}h=\frac{(12+8)}{2}6=60 cm^2$$

6) CÍRCULO.

$$comprimento=2\pi r$$ $$área=\pi r^2$$

Exemplo 9
Dado um círculo de raio 8cm.
a) Calcule o comprimento da circunferência.
b) Calcule a sua área.
Solução.
a) $$L=2\pi r=2\pi 8=16 \pi cm $$ b) $$S=\pi r^2=\pi 8^2=64 \pi cm^2$$

Razão entre áreas.
A razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado de semelhança.

$$\frac {S_1}{S_2}=k^2$$

Dois polígonos são semelhantes se os ângulos internos forem congruentes e se os lados que formam os ângulos congruentes forem, respectivamente, proporcionais.
Se dois polígonos são semelhantes não só os seus lados são proporcionais como também quaisquer dois segmentos correspondentes.

Exemplo 10
Um hexágono tem uma área de 100 cm². Calcule a área que deverá ter um hexágono semelhante com lados 3 vezes maior.
Solução.
Como a razão de semelhança é 3, um lado é três vezes maior que o outro. k=3 Temos:$$\frac {S_{maior}}{S_{menor}}=k^2$$ $$ \frac {S_{maior}}{100}=3^2 $$ $$ \frac {S_{maior}}{100}=9 $$ $$ S_{maior}=900 cm^2 $$