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Principais Sólidos Geométricos

Cubo
a) diagonal: $$ D=\sqrt{3}a $$ b) área total:$$ A=6a^2 $$ c) volume: $$ V=a^3 $$
image/svg+xml a a a D

Exemplo 1.
Dado que a aresta lateral de um cubo mede 2 cm.
Calcule: a) diagonal, b) área total e c) volume.
Resolução.
a)$$ D=\sqrt{3}a=2\sqrt{3} cm $$ b) área total: $$ A=6a^2=6 (2)² =24 cm² $$ c) volume: $$ V=a^3 = 2³ = 8 cm³$$

Paralelepípedo reto-retângulo
a) diagonal: $$ D=(a^2+b^2+c^2) $$ b) área total: $$ A=2(ab+ac+bc) $$ c) volume: $$ V=abc $$
image/svg+xml D a c b

Exemplo 2.
Dado que as arestas laterais de um paralelepípedo reto-retângulo medem 2 cm, 3cm e 5cm.
Calcule: a) diagonal, b) área total e c) volume.
Resolução.
a)$$ D=(a^2+b^2+c^2)=$$ $$(2^2+3^2+5^2)=4+9+25= 38cm $$ b) área total:$$ A=2(ab+ac+bc)= $$ $$2(2(3)+2(5)+3(5))=$$ $$2(6+10+15)=62 $$ c) volume:$$ V=abc=2.3.5=30 $$

Prisma regular
a) área lateral: $$ A_L=n A_F $$ n= número de faces, AF=área de uma face lateral b) área total: $$ A_T = 2A_B+A_L $$ AB=área da base c) volume: $$ V= A_B h $$
image/svg+xml h h a

Exemplo 3.
Dado um prisma retangular de base quadrada cuja aresta de mede 3 cm e a sua altura mede 5cm.
Calcule: a) área lateral de uma face, b) área total e c) volume.
Resolução.
a) área lateral de uma face: $$ A_L= ah=3(5)=15cm^2 $$ b) área total:$$ A_T= 4ah+2A_b=4(15)+2(3^2) $$ $$ A_T=60+18=78cm^2 $$ c) volume: $$ V= A_b h=9(5)=45cm^2 $$

PIRÂMIDES
Pirâmide regular
Uma pirâmide é regular se, e somente se, seu polígono da base é regular e a projeção ortogonal de seu vértice sobre o plano da base é o centro da base.
Elementos principais.
Altura (H). Apótema (m) Apótema da base (r) ou raio da circunferência inscrita. Arestas da base (b). Aresta lateral (L). Vértice (V). Raio da circunferência circunscrita ao polígono da base (R).
O volume de uma pirâmide qualquer é igual a 1/3 do produto da área de sua base por sua altura. $$ V= \frac{A_B h}{3} $$

image/svg+xml a h

Exemplo 4.
Dado que a aresta lateral de uma pirâmide regular de base quadrada mede 3 cm e sua altura mede 10cm.
Calcule: a) área da base e b) volume.
Resolução.
a) área da base:$$ A_b= a^2=3^2=9cm^2 $$
b) volume:$$ V= \frac{A_B h}{3}=\frac{9(10)}{3}=45cm^3 $$

Tetraedro regular
O tetraedro regular é composto por 4 faces triangulares e os triângulos das faces são equiláteros.
a) área de uma das faces: $$ A_F=\frac{a²\sqrt{3}}{4} $$
b) volume: $$ V=\frac{ a\sqrt{6}}{3} $$
image/svg+xml h a a a a a

Exemplo 5.
Dado que a aresta lateral de um tetraedro regular mede 5 cm.
Calcule: a) área total e b) volume.
Resolução. a) área total:$$ A_{total}=4\frac{a²\sqrt{3}}{4}=a²\sqrt{3} $$ $$A_{total}=5^2\sqrt{3}=25\sqrt{3} cm^2$$ b) Volume:$$ V=\frac{ a\sqrt{6}}{3}=\frac{ 5\sqrt{6}}{3} cm^3 $$


CILINDRO
a) área da base: $$ A_b =\pi r^2 $$ b) área lateral: $$ A_L = 2 \pi r h $$ c) área total: $$ A = A_L + 2 A_b $$ d) volume: $$ V= \pi r^2 h=A_B h $$ Obs. Cilindro equilátero: h=2R

image/svg+xml h r

Exemplo 6.
Dado que o diâmetro da base do cilindro mede 6cm e sua altura mede 8cm.
Calcule: a) área lateral, b) área total e c) volume.
Resolução.
a) área lateral: $$ A_L=2\pi rh=2\pi 3(8)=48\pi cm^2 $$
b) área total:$$ A=A_L+2A_b=48\pi cm^2+2\pi r^2= $$ $$ A=48\pi cm^2+2\pi 3^2= 66\pi cm^3 $$
c) volume:$$ V=A_B h=9\pi 8=72\pi cm^3 $$

CONE
a) relação fundamental: $$ g^2=r^2+h^2 $$ b) área lateral: $$ A_L = \pi rg $$ c) área total: $$ A_T = A_L + A_{base} $$ d) volume: $$ V=\pi r^2 \frac{h}{3} $$ Obs. Cone equilátero: g=2r
image/svg+xml r h g

Exemplo 7.
Dado que o raio da base do cone mede 7 cm e sua altura mede 12 cm.
Calcule: a) área base e b) volume.
Resolução.
a) área da base: é a área da circunferência de raio 7cm. $$ A_b =\pi r^2=\pi 7^2=49\pi cm^2 $$ b) volume:$$ V=\pi r^2 \frac{h}{3}=\pi 7^2 \frac{12}{3}=196\pi cm^3$$

ESFERA
a) área: $$ A= 4 \pi R^2 $$ b) volume: $$ V=\frac{4}{3} \pi R^3 $$
image/svg+xml o r

Exemplo 8.
Dado que o raio de uma esfera mede 8cm.
Calcule: a) área e b) volume.
Resolução. a) área:$$ A= 4 \pi R^2=4 \pi 8^2=256\pi cm^2$$ b) volume:$$ V=\frac{4}{3} \pi R^3=\frac{4}{3} \pi 8^3=682,67\pi cm^3 $$

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