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Em muitas situações é importante expressar uma direção e um sentido, por exemplo, quando estamos perdidos em algum lugar, pedimos ajuda para alguém, que com sorte nos apontará a direção e o sentido correto para onde desejamos ir. O mesmo ocorre em matemática.

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Imagine que estamos perdidos na encruzilhada acima. Para saber o caminho correto, precisamos saber em que direção precisamos seguir (vertical ou horizontal) e em que sentido (para trás ou para frente, para direita ou para esquerda). Um vetor é um objeto matemático que possibilita informar alguém uma direção e um sentido de forma precisa e sem ambiguidades.

Definição

Vetor é uma entidade matemática que tem as seguintes características:

  • Intensidade ou módulo (comprimento),
  • Direção (inclinação em relação ao eixo-x).
  • Sentido (positivo ou negativo).
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Considere um paralelogramo construído com diferentes flechas. Da figura, vemos que as duas flechas vermelhas têm as mesmas características: direção, sentido e comprimento, ou seja, a representação destas flechas como vetores é exatamente a mesma, apesar das flechas partirem de diferentes posições. As flechas azul e verde têm a mesma direção e módulo, mas apresentam sentidos contrários, logo, a representação destas flechas como vetores é distinta.

Notação para vetores

Vetores, assim como pontos, são representados por pares ordenados, a forma mais adotada para distinguir um do outro, são os rótulos utilizados. Pontos são tipicamente denotados com letras maiúsculas, ou seja, um ponto \(A\) que tem par ordenado \((a,b)\) em algum sistema de coordenadas, é tipicamente denotado como \(A = (a,b)\) ou \(A(a,b)\) . No entanto, vetores são rotulados com letras minúsculas, e às vezes com setas em cima da letra ou a letra em negrito, ou é informado com um texto que letra representa algum vetor. Desta maneira, um vetor \(v\) pode ser rótulado como \( \vec{v}\) ou \(\bf{v}\).

Em resumo, um par ordenado \((c,d)\) que define um vetor em algum sistema de coordenadas, pode ser, tipicamente, rotulado assim $$\vec{v}=(c,d)$$ ou $${\bf v}=(c,d).$$

Para definir uma posição no espaço, alguns autores preferem adotar o "vetor posição" no lugar do conceito de ponto.

Representação gráfica de vetores

O procedimento para conseguir uma representação gráfica de um vetor é semelhante a de um ponto (vide figura). Basta marcar as coordenadas do vetor nos eixos coordenados, depois considerar retas perpendiculares aos eixos que passam pelas posições marcadas (retas pontilhadas cinzas), o vetor é uma seta que parte da origem e vai até a intersecção das retas cinzas pontilhadas.

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O vetor dependerá do sistema de coordenadas, tipicamente o sistema cartesiano é empregado.

Vetor definido por dois pontos

Dois pontos, \(\color{blue}{A(a_x,a_y)}\) e \(\color{green}{B(b_x,b_y)}\), definem um vetor $$ \color{red}{\vec{AB}} = \color{green}{B}-\color{blue}{A} = (\color{green}{b_x} - \color{blue}{a_x}, \color{green}{b_y} - \color{blue}{a_y}).$$ Este vetor pode ser "interpretado" como o deslocamento de \(A\) para \(B\), pois ele informa a direção, o sentido e a distância que precisa ser percorrida a partir de \(A\) para se chegar em \(B.\)

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Dois pontos definem um vetor.

Repare que a ordem importa, pois $$ \vec{\color{blue}{A}\color{green}{B}} \ne \vec{\color{green}{B}\color{blue}{A}},$$ mas estão relacionados de maneira que $$ \vec{\color{blue}{A}\color{green}{B}} =- \vec{\color{green}{B}\color{blue}{A}}.$$

Multiplicação de um vetor por um escalar

A multiplicação de um vetor \(\vec{v}=(c,d)\) por um número real \(k\) é definida como $$k\vec{v} = k(c,d) \equiv (kc, kd).$$ Ou seja, basta multiplicar cada componente por \(k\). No caso em que \(k \ne 0\), podemos representar graficamente esta operação.

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Quando um vetor é multiplicado por uma constante positiva \(k\), este vetor terá a mesma direção anterior mas o seu comprimento é alterado. Se a constante que multiplica o vetor for \(k \gt 1\), o resultado será um vetor mais longo. Se a constante que multiplica o vetor for \(0\lt k \lt 1\), o resultado será um vetor mais curto.
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Quando um vetor é multiplicado por uma constante negativa \(k\), este vetor terá a mesma direção mas um sentido contrária ao anterior, e o seu comprimento também será alterado. Se a constante que multiplica o vetor for \(k \lt -1\), o resultado será um vetor mais longo. Se a constante que multiplica o vetor for \(-1\lt k \lt 0\), o resultado será um vetor mais curto.

Soma de vetores

Já que é possível somar números, é natural perguntarmos se é possível somar vetores e o que esta soma siginifica.

Considere dois vetores, \(\vec{u}=(a,b)\) e \(\vec{v}=(c,d)\), a soma destes dois vetores pode ser escrita como $$ \vec{u}+\vec{v} = (a,b) + (c,d) \equiv (a+c, b+ d).$$ Desta definição fica claro que $$\vec{v}+\vec{u} = \vec{u}+\vec{v},$$ ou seja, a ordem dos termos não importa.

A soma de dois vetores também pode ser encontrada geometricamente, como está esquematizado na figura abaixo.

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A soma do vetor verde com o vetor azul é o vetor vermelho. O vetor vermelho pode ser construído se deslocarmos (transladarmos) o início do vetor azul até a ponta do vetor verde, o vetor vermelho é o vetor que vai do início do vetor verde até a ponta do "vetor deslocado" azul (com cor mais clara).

Subtração de vetores

Considere novamente dois vetores, \(\vec{u}=(a,b)\) e \(\vec{v}=(c,d)\), a subtração destes dois vetores pode ser escrita como $$ \vec{u}-\vec{v} = (a,b) - (c,d) \equiv (a-c, b-d).$$ Desta definição fica claro que $$\vec{v}-\vec{u} \ne \vec{u}-\vec{v},$$ ou seja, a ordem dos termos importa.

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Ao subtrair o vetor azul do vetor verde teremos o vetor resultante vermelho. As características do vetor resultante são as mesmas da seta que vai da ponta do vetor azul até a ponta do vetor verde. Vetores sempre partem da origem, logo, o vetor resultante (vermelho) é o que parte da origem.

Paralelismo entre vetores

Dois vetores são paralelos se eles são proporcionais, ou seja, considerando dois vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) e um escalar \(k\), tal que \(k \in \mathbb{R}\), se \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) são paralelos, então existe um \(k\) de maneira que \(\vec{u} = k \vec{v}\). Reescrevendo isto com símbolos matemáticos, temos $$ \vec{u} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow \exists k \, | \, \vec{u} = k \vec{v}.$$

Por exemplo, o vetor \(\vec{a}=(1,2)\) é proporcional ao vetor \(\vec{b}=(4,8)\), logo, \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) são paralelos, pois \(\vec{b}=4\vec{a}\). Veja que \(\vec{a}\) ou \(\vec{b}\) NÃO são paralelos ao \(\vec{c}=(4,2)\), pois não existe nenhum número que multiplicado por \(\vec{c}\) resulte em \(\vec{a}\) ou \(\vec{b}\).

Considere novamente dois vetores, \(\vec{u}=(a,b)\) e \(\vec{v}=(c,d)\), se eles forem paralelos, \((a,b) = k (c,d)\), então $$ \left\{ \begin{array}{c} a=k c \implies k=\frac{a}{c} \\ b=kd \implies k=\frac{b}{d} \end{array} \right. , $$ e assim temos $$ \frac{a}{c} = \frac{b}{d},$$ que é a condição, sobre as coordenadas, para que dois vetores sejam paralelos.

Veja que para \(\vec{a}=(1,2)\) e \(\vec{b}=(4,8)\), temos $$ \frac{1}{4} = \frac{2}{8},$$ pois eles são paralelos. Mas para \(\vec{a}=(1,2)\) e \(\vec{c}=(4,2)\), temos $$ \frac{1}{4} \ne \frac{2}{2},$$ pois eles NÃO são paralelos.

Vetores unitários (versores)

Um vetor cujo módulo é 1 recebe o nome de vetor unitário ou versor. Qualquer vetor tem um versor associado. Por exemplo, para um vetor \(\vec{v}\) o seu versor \(\hat{v}\) será dado por $$ \hat{v}= \frac{\vec{v}}{|v|}.$$

Um vetor unitário é útil quando estamos interessados na direção de um vetor conhecido, de forma que seja possível representar uma grandeza que está na mesma direção do vetor conhecido mas que tem módulo diferente.

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Dado o vetor posição da primeira casa da rua, \(\vec{v}\), e conhecendo a distância da segunda casa até a origem, é possível encontrar o vetor posição da segunda casa. O vetor posição da segunda casa será \(k \hat{v}\), sendo \(k\) um escalar, que representa a distância entre a origem e a segunda casa.
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