Em muitas situações é importante expressar uma direção e um sentido, por exemplo, quando estamos perdidos em algum lugar, pedimos ajuda para alguém, que com sorte nos apontará a direção e o sentido correto para onde desejamos ir. O mesmo ocorre em matemática.
Vetor é uma entidade matemática que tem as seguintes características:
Vetores, assim como pontos, são representados por pares ordenados, a forma mais adotada para distinguir um do outro, são os rótulos utilizados. Pontos são tipicamente denotados com letras maiúsculas, ou seja, um ponto \(A\) que tem par ordenado \((a,b)\) em algum sistema de coordenadas, é tipicamente denotado como \(A = (a,b)\) ou \(A(a,b)\) . No entanto, vetores são rotulados com letras minúsculas, e às vezes com setas em cima da letra ou a letra em negrito, ou é informado com um texto que letra representa algum vetor. Desta maneira, um vetor \(v\) pode ser rótulado como \( \vec{v}\) ou \(\bf{v}\).
Em resumo, um par ordenado \((c,d)\) que define um vetor em algum sistema de coordenadas, pode ser, tipicamente, rotulado assim $$\vec{v}=(c,d)$$ ou $${\bf v}=(c,d).$$
Para definir uma posição no espaço, alguns autores preferem adotar o "vetor posição" no lugar do conceito de ponto.
O procedimento para conseguir uma representação gráfica de um vetor é semelhante a de um ponto (vide figura). Basta marcar as coordenadas do vetor nos eixos coordenados, depois considerar retas perpendiculares aos eixos que passam pelas posições marcadas (retas pontilhadas cinzas), o vetor é uma seta que parte da origem e vai até a intersecção das retas cinzas pontilhadas.
Dois pontos, \(\color{blue}{A(a_x,a_y)}\) e \(\color{green}{B(b_x,b_y)}\), definem um vetor $$ \color{red}{\vec{AB}} = \color{green}{B}-\color{blue}{A} = (\color{green}{b_x} - \color{blue}{a_x}, \color{green}{b_y} - \color{blue}{a_y}).$$ Este vetor pode ser "interpretado" como o deslocamento de \(A\) para \(B\), pois ele informa a direção, o sentido e a distância que precisa ser percorrida a partir de \(A\) para se chegar em \(B.\)
Repare que a ordem importa, pois $$ \vec{\color{blue}{A}\color{green}{B}} \ne \vec{\color{green}{B}\color{blue}{A}},$$ mas estão relacionados de maneira que $$ \vec{\color{blue}{A}\color{green}{B}} =- \vec{\color{green}{B}\color{blue}{A}}.$$
A multiplicação de um vetor \(\vec{v}=(c,d)\) por um número real \(k\) é definida como $$k\vec{v} = k(c,d) \equiv (kc, kd).$$ Ou seja, basta multiplicar cada componente por \(k\). No caso em que \(k \ne 0\), podemos representar graficamente esta operação.
Já que é possível somar números, é natural perguntarmos se é possível somar vetores e o que esta soma siginifica.
Considere dois vetores, \(\vec{u}=(a,b)\) e \(\vec{v}=(c,d)\), a soma destes dois vetores pode ser escrita como $$ \vec{u}+\vec{v} = (a,b) + (c,d) \equiv (a+c, b+ d).$$ Desta definição fica claro que $$\vec{v}+\vec{u} = \vec{u}+\vec{v},$$ ou seja, a ordem dos termos não importa.
A soma de dois vetores também pode ser encontrada geometricamente, como está esquematizado na figura abaixo.
Considere novamente dois vetores, \(\vec{u}=(a,b)\) e \(\vec{v}=(c,d)\), a subtração destes dois vetores pode ser escrita como $$ \vec{u}-\vec{v} = (a,b) - (c,d) \equiv (a-c, b-d).$$ Desta definição fica claro que $$\vec{v}-\vec{u} \ne \vec{u}-\vec{v},$$ ou seja, a ordem dos termos importa.
Dois vetores são paralelos se eles são proporcionais, ou seja, considerando dois vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) e um escalar \(k\), tal que \(k \in \mathbb{R}\), se \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) são paralelos, então existe um \(k\) de maneira que \(\vec{u} = k \vec{v}\). Reescrevendo isto com símbolos matemáticos, temos $$ \vec{u} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow \exists k \, | \, \vec{u} = k \vec{v}.$$
Por exemplo, o vetor \(\vec{a}=(1,2)\) é proporcional ao vetor \(\vec{b}=(4,8)\), logo, \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) são paralelos, pois \(\vec{b}=4\vec{a}\). Veja que \(\vec{a}\) ou \(\vec{b}\) NÃO são paralelos ao \(\vec{c}=(4,2)\), pois não existe nenhum número que multiplicado por \(\vec{c}\) resulte em \(\vec{a}\) ou \(\vec{b}\).
Considere novamente dois vetores, \(\vec{u}=(a,b)\) e \(\vec{v}=(c,d)\), se eles forem paralelos, \((a,b) = k (c,d)\), então $$ \left\{ \begin{array}{c} a=k c \implies k=\frac{a}{c} \\ b=kd \implies k=\frac{b}{d} \end{array} \right. , $$ e assim temos $$ \frac{a}{c} = \frac{b}{d},$$ que é a condição, sobre as coordenadas, para que dois vetores sejam paralelos.
Veja que para \(\vec{a}=(1,2)\) e \(\vec{b}=(4,8)\), temos $$ \frac{1}{4} = \frac{2}{8},$$ pois eles são paralelos. Mas para \(\vec{a}=(1,2)\) e \(\vec{c}=(4,2)\), temos $$ \frac{1}{4} \ne \frac{2}{2},$$ pois eles NÃO são paralelos.
Um vetor cujo módulo é 1 recebe o nome de vetor unitário ou versor. Qualquer vetor tem um versor associado. Por exemplo, para um vetor \(\vec{v}\) o seu versor \(\hat{v}\) será dado por $$ \hat{v}= \frac{\vec{v}}{|v|}.$$
Um vetor unitário é útil quando estamos interessados na direção de um vetor conhecido, de forma que seja possível representar uma grandeza que está na mesma direção do vetor conhecido mas que tem módulo diferente.