Considere a reta \(r\), tal reta divide o plano em dois.

Com uma equação geral da reta, é possível identificar o vetor normal. Definiremos o semiplano normal (metade do plano em vermelho na figura), que será o semiplano para o qual o vetor normal da equação da reta aponta. O semiplano oposto, será o semiplano do lado oposto ao vetor normal. Mas qual equação representa os pontos de todo um semiplano?

Considere um ponto \(C\) qualquer no semiplano normal e um ponto \(B\) no semiplano oposto. Dado um ponto \(A \in r\), podemos encontrar o vetor \(\vec{AB}\) e \(\vec{AC}\).

Da figura fica claro que o ângulo que \(\vec{AB}\) faz com a normal é obtuso (\( \gamma <90^o\)) . No caso de \(\vec{AC}\), o ângulo com a normal é agudo (\( \alpha >90^o\)). Sendo assim, temos que $$ \frac{ \vec{AB} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}| |\vec{AB}|} = cos (\gamma) > 0, $$ e $$ \frac{ \vec{AC} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}| |\vec{AC}|} = cos (\alpha) < 0. $$

Semiplano Normal

Sendo \(\vec{n}=(a,b)\), \(A(x_a,y_a) \in r\) e \(B(x,y)\) um ponto do semiplano normal, temos que $$ \vec{AB} \cdot \vec{n} > 0$$ ou seja $$ ax+by+c>0,$$ tal que \(c=-ax_a-by_a\).

Semiplano Oposto

Sendo \(\vec{n}=(a,b)\), \(A(x_a,y_a) \in r\) e \(C(x,y)\) um ponto do semiplano oposto, temos que $$ \vec{AC} \cdot \vec{n} < 0$$ ou seja $$ ax+by+c<0,$$ tal que \(c=-ax_a-by_a\).