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Produto Escalar

Diferentemente da multiplicação entre números, existem diferentes maneiras de multiplicar dois vetores. Em particular, o produto escalar é um produto entre dois vetores cujo resultado é um escalar (número).

Considere dois vetores e seus pares ordenados, \(\vec{v}=(a,b)\) e \(\vec{u}=(c,d)\), o produto escalar entre eles é denotado por \(\vec{v} \cdot \vec{u}\) e é definido como $$ \vec{v} \cdot \vec{u} \equiv ac+bd.$$

Propriedades do produto escalar

Pela definição, é possível encontrar as seguintes propriedades, sendo \(k\) uma constante real (\(k \in \mathbb{R}\)).

  • \( \vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v}\)
  • \(k(\vec{u} \cdot \vec{v}) = (k \vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (k \vec{v})\)
  • \(\vec{w} \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{w} \cdot \vec{u} + \vec{w} \cdot \vec{v}\)

Norma de um vetor

Podemos usar a definição de produto escalar para escrever a norma de um vetor usando o produto escalar.

Considere um vetor \(\vec{v}=(a,b)\). A norma deste vetor é dada por $$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}},$$ ou, de forma equivalente, $$|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}.$$

Ângulo entre vetores

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Considere a figura acima, podemos usar a lei dos cossenos para relacionar o módulo dos vetores \(\vec{v}\) e \(\vec{u}\), com isto temos $$|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 -2|u||v| cos(\theta).$$ Veja que podemos reescrever o lado esquerdo da equação como $$ |\vec{u} - \vec{v}|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}),$$ e usando as propriedades do produto escalar, teremos $$ |\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{u}|^2.$$ Destas equações, resulta que $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| cos(\theta),$$ ou $$ cos(\theta) = \frac{ \vec{u} \cdot \vec{v}}{ |\vec{u}| |\vec{v}|},$$ de forma que é possível encontrar o ângulo entre dois vetores através do produto escalar entre eles.

Projeção de vetores

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Projeção do vetor \(\vec{v}\) na direção do vetor \(\vec{u}.\)

É possível projetar um vetor na direção de outro. Em física, por exemplo, em muitas situações facilita muito a resolução de problemas projetar certos vetores em direções mais convenientes.

Considere dois vetores, \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\). Vamos projetar \(\vec{v}\) na direção \(\vec{u}\) para encontrar o vetor \(\vec{v}_{\vec{u}}\). Da figura, o módulo será $$ |\vec{v}_{\vec{u}}| = |\vec{v}| cos(\theta).$$ Podemos escrever o \(cos(\theta)\) como \(\frac{ \vec{u} \cdot \vec{v}}{ |\vec{u}| |\vec{v}|}\) para obter $$|\vec{v}_{\vec{u}}| = \vec{v} \cdot \hat{u}.$$ Claramente, \(\vec{v}_{\vec{u}}\) tem a direção de \({\vec{u}},\) logo, $$\vec{v}_{\vec{u}} = (\vec{v} \cdot \hat{u}) \hat{u}.$$

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