Planos cartesianos

Geometria Analítica
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No plano (2D)
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Planos cartesianos

Para que seja possível especificar uma localização em um plano, não basta só um par ordenado, é importante que primeiro seja definido uma origem e um sistema de coordenadas. Diferentes origens e sistemas de coordenadas geram diferentes pares ordenados para o mesmo ponto, vide figura.

Imagine que em um dado terreno queremos construir uma piscina, como ilustra a figura. Para a construção precisamos informar ao construtor a posição exata da piscina. No caso, o centro dela. Para definir esta localização, de forma precisa, é necessário definir uma origem ($O$ ou $O'$) e um par de eixos coordenados ($x,y$ ou $x', y'$). Note que, dependendo da origem e dos eixos escolhidos, a posição da piscina será descrita por diferentes pares ordenados.

Nota pedagógica: Para ressaltar a importância da origem na definição de um par ordenado, que representa uma localização espacial real, vamos sempre ilustrar pontos conectados com um segmento de reta ligado à origem.

Coordenadas Cartesianas

As Coordenadas Cartesianas, ou Plano Cartesiano, levam este nome em homenagem ao seu criador, o filósofo e matemático francês René Descartes. Tipicamente, adotam-se dois eixos perpendiculares que se cruzam num ponto. O eixo horizontal é chamado de abscissa ou eixo-$x$. O eixo vertical é chamado de ordenada ou eixo-$y$.

Divisão do espaço em quadrantes.

Os eixos cartesianos dividem o espaço em quatro quadrantes, como ilustra a figura, de forma que um par ordenado $A=(a,b)$ vai pertencer a cada quadrante quando.

Se $a \gt 0$ e $ b \gt 0$ $\implies$ $A \in$ ($1^o$ quadrante).
Se $a \lt 0$ e $ b \gt 0$ $\implies$ $A \in$ ($2^o$ quadrante).
Se $a \lt 0$ e $ b \lt 0$ $\implies$ $A \in$ ($3^o$ quadrante).
Se $a \gt 0$ e $ b \lt 0$ $\implies$ $A \in$ ($4^o$ quadrante).

Numeração dos eixos coordenados.

Quando temos pares ordenado para os quais conhecemos os valores de suas componentes, podemos localizar explicitamente, no espaço, os pontos que estes pares representam. Para isso, antes precisamos definir e numerar os eixos coordenados, como foi feito na figura acima.

Observe os quatro pares: $A(5,5)$, $B(-4,3)$,$C(-2,-5)$ e $D(2,-2)$. A representação destes pares em eixos coordenados perpendiculares está representada por pontos na figura abaixo. Repare que, neste exemplo, cada ponto pertence a um quadrante diferente.

Pontos explícitos representados em eixos coordenados perpendiculares.

Rótulo para pontos

Em geral, pontos são rotulados com letras maiúsculas. Por exemplo, quando um par ordenado $(a,b)$ denota um ponto $A$, é comum escrever $$A=(a,b)$$ ou $$A(a,b).$$

Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos é definida como a menor distância que se pode percorrer para ir de um ponto ao outro. No caso, a menor distância entre dois pontos é medida sobre um segmento de reta que vai de um ponto ao outro.

Ilustração da distância $d$ entre dois pontos, $A$ e $B$.

Para calcular a distância entre dois pontos, considere um ponto $A(a_x, a_y)$ e um ponto $B(b_x, b_y)$, como está ilustrado na figura acima. A distância $d$ entre $A$ e $B$ está representada como um segmento de reta roxo que liga os dois pontos.

O Teorema de Pitágoras é aplicado para encontrar a distância entre dois pontos de acordo com o triângulo retângulo acima.

É possível relacionar a distância $d$ com as componentes dos pontos se utilizarmos o Teorema de Pitágoras. Como ilustra a figura acima, teremos: $$ d^2 = (a_x - b_x)^2 + (a_y-b_y)^2, $$ logo $d = \pm \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y-b_y)^2},$. Como distâncias são grandezas positivas, a parte negativa pode ser ignorada. Finalmente, a distãncia entre dois pontos pode ser escrita como: $$d_{A,B} = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y-b_y)^2}.$$

Repare que a distância de $A$ até $B$ é a mesma que de $B$ até $A$, logo $$ d_{A,B} = d_{B,A}.$$

Deslocamento (segmento de reta)

O cálculo de distância entre dois pontos sugere a definição do deslocamento. Dados dois pontos, $A(a_x, a_y)$ e $B(b_x, b_y)$, o deslocamento $\overline{AB}$ é definido como $$\overline{AB} \equiv B-A \equiv (b_x-a_x, b_y -a_y) .$$

Apesar de $\overline{AB}$ sugerir um segmento que sai de $A$ e vai até $B$, por ele ser representado por um único par ordenado, devemos entender que sua origem, na verdade, concide com a dos eixos coordenados.

Módulo de um par ordenado

Baseado no Teorema de Pitágoras, podemos definir o módulo de um par ordenado $(a,b)$: $$ |(a,b)| \equiv \sqrt{(a^2 + b^2)}.$$

Usando a definição de módulo e de segmento de reta, podemos representar o comprimento do deslocamento entre dois pontos $A$ e $B$ como: $$ d_{A,B} = |\overline{AB}|.$$

Ponto Médio

Ponto médio $M$ entre dois pontos $A$ e $B$.

Dado dois pontos, $A$ e $B$, podemos encontrar um ponto $M$ que está no meio do caminho retilíneo entre $A$ e $B$. Para encontrar $M$, precisamos começar de $A$ e percorrer metade do deslocamento até $B$, ou seja $$ M = A + \frac{\overline{AB}}{2} = A + \frac{B-A}{2}, $$ de forma que $$ M = \frac{A+B}{2}.$$

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