Pares ordenados

Como o nome sugere, pares ordenados são dois números onde a ordem importa. Considere dois números, representados por \(a\) e \(b\), podemos construir dois pares ordenados, sao eles $$ (a, b)$$ e $$ (b,a).$$ Estes pares só serão iguais se \(a=b\), caso contrário, teremos dois pares diferentes. De devemos ter cuidado para não trocar a ordem de \(a\) e \(b\).  

Posição espacial em um reticulado

A maneira mais prática de visualizar a utilidade de pares ordenados é entendendo como eles podem representar posições específicas em uma planilha.

Considere as duas afirmações sobre a planilha acima:

• O quadrado azul está na quarta coluna e terceira linha;
• O quadrado azul está na terceira coluna e terceira linha.

Veja que as duas afirmações não concordam, mas as duas tem lógica, logo, algo está ambiguo. Uma afirmação está se referindo à contagem das linhas da direita para a esquerda, e a outra, da esquerda para a direita, só que isto não está explícito, o que pode gerar muita confusão.

É possível sanar a ambiguidade se enumerarmos as linhas e colunas da planinha, como pode-se ver abaixo. Nesta situação, só é possível fazer uma afirmação:

• O quadrado azul está na coluna 3 e na linha 3.

Se convencionarmos que o primeiro elemento de um par ordenado representará sempre uma coluna da tabela e o segundo uma linha, podemos usar um par ordenado para informar a posição do elemento azul:

• O elemento azul está na posição \((3,3).\)

Pares ordenados no contínuo

Por vezes, precisamos especificar uma posição de forma mais precisa, de maneira que não é possível usar um reticulado. Neste caso, precisamos numerar o espaço em infinitas posições com números reais. Mas, para que não haja ambiguidade, temos que definir uma origem, para saber de onde começaremos a numeração do espaço. Precisaremos também de eixos coordenados, no caso \(x\) e \(y\), para coordenar em que direções as numerações aumentarão.

Por exemplo, podemos representar o par ordenado \((5,5;6)\) num plano numerado, como é exemplificado na figura abaixo.

Para discussões mais gerais, é comum especificarmos um ponto genérico \((a,b)\), onde \(a\) e \(b\) são números reais, numa reta, como ilustra a figura abaixo.

Igualdade entre pares ordenados

Dois pares ordenados, \((a,b)\) e \((c,d)\), só serão iguais e representarão a mesma posição no espaço se as componentes de um par forem iguais as do outro, ou seja:
se $$ (a,b) = (c,d)$$ então $$\left\{ \begin{array}{c} a=c \\ b=d, \end{array} \right.$$ de forma que a igualdade leva a um sistema de equações.

Dimensão

A quantidade de números agrupados e ordenados define a dimensão deste grupo de números. No caso de pares ordenados, a dimensão é 2.

O conjunto de todos os pares ordenados com componentes reais é denotado por \({\rm I\!R}^2\), ou seja $${\rm I\!R}^2 =\{(a,b) |a,b \in {\rm I\!R}\}.$$ Este conjunto também é chamado de Espaço Bidimensional Real.