- Geometria Analítica
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- No plano (2D)
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- Interseção entre duas retas
Considerando duas retas, é possível que exista um ponto que pertença a ambas as retas, ou é possível que não exista nenhum ponto que pertença as duas retas simultaneamente.
Podemos enunciar este problema de forma algébrica como um sistema de duas retas: $$ \left\{\begin{array}{c} a_rx+b_ry+c_r=0 \\ a_sx+b_sy+c_s=0\end{array} \right..$$
Para entender as possíveis soluções do sistema acima, vamos primeiro entender as possíveis posições relativas entre as retas \(r: a_rx+b_ry+c_r=0\) e \(s: a_sx+b_sy+c_s=0.\)
Posições Relativas
- Retas paralelas e não coincidentes
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Quando as retas são paralelas, os vetores normais das retas também são paralelos, logo, a área definida por estes dois vetores é nula, \( \left|\begin{array}{c} a_r & b_r \\ a_s & b_s\end{array} \right|=0\), e o produto escalar é não nulo, \((a_r, b_r) \cdot (a_s, b_s) \ne 0\) - Retas coincidentes
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Quando as retas são coincidentes, a área definida por estes dois vetores é nula, \( \left|\begin{array}{c} a_r & b_r \\ a_s & b_s\end{array} \right| = 0\), e o produto escalar é não nulo, \((a_r, b_r) \cdot (a_s, b_s) \ne 0\). - Retas perpendiculares
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Quando as retas são perpendiculares, os vetores normais das retas também são perpendiculares, logo, a área definida por estes dois vetores é não nula, \( \left|\begin{array}{c} a_r & b_r \\ a_s & b_s\end{array} \right| \ne 0\), mas o produto escalar é nulo, \((a_r, b_r) \cdot (a_s, b_s)=0\). - Retas concorrentes
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Quando as retas são concorrentes, a área definida por estes dois vetores não é nula, \( \left|\begin{array}{c} a_r & b_r \\ a_s & b_s\end{array} \right| \ne 0\), mas o produto escalar também não, \((a_r, b_r) \cdot (a_s, b_s) \ne 0\).
Soluçãos de Sistemas Lineares
Qualquer sistema do tipo: $$ \left\{\begin{array}{c} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2\end{array} \right.,$$ pode ser interpretado como a intersecção de duas retas.
Podemos concluir o seguinte sobre as possíveis soluções do sistema:
- Solução única
- Teremos um único ponto como solução apenas quando $$ \left|\begin{array}{c} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array} \right| \ne 0.$$
- Solução impossível ou indeterminada
- Quando as duas retas são paralelas, temos $$ \left|\begin{array}{c} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array} \right| = 0.$$ Ou seja, podemos ter retas paralelas e não coincidentes, de forma que não exista nenhum ponto de intersecção entre as retas, e o sistema não tem solução. Ou pode ser que as retas sejam paralelas e coincidentes, e o sistema admitirá infinitos pontos de uma reta como solução.
