Existem diferentes maneiras de encontrar fórmulas matemáticas que representam uma reta. A seguir apresentaremos as principais.

Equação paramétrica da reta

De posse de um vetor \(\vec{v}\) que definirá a direção de uma reta e algum ponto \(A\) por onde esta reta passe, podemos encontrar uma equação paramétrica para esta reta. Como o nome já sugere, esta equação depende de um parâmetro, em geral, usa-se a letra \(t\) para denotar tal parâmetro que é um valor real, \(t \in \mathbb{R}\).

Repare que qualquer multiplo do vetor \(\vec{v}\) somado ao ponto \(A\) gera algum ponto da reta \(r\). Sendo assim, qualquer ponto \(P \in r\) pode ser expresso como: $$ P=A+t \cdot \vec{v},$$ tal que \(t \in \mathbb{R}.\)

Podemos escrever, de forma explícita, as coordenadas dos pontos que pertencem a reta, considere \(P(x,y) \in r\), \(A(a_x,a_y) \in r\) e um vetor diretor \(\vec{v}=(v_x,v_y).\) Logo, temos $$ r: \left\{ \begin{array}{c} x=t v_x + a_x \\ y = t v_y + a_y\end{array} \right.,$$ que define as coordenadas de um ponto que pertence a reta \(r\) para cada valor do parâmetro \(t\) escolhido.

Equação simétrica

A equação simétrica da reta pode ser obtida através da equação paramétrica. Basta colocar o parâmetro em evidência e igualar os termos, ou seja, $$ r: \left\{ \begin{array}{c} \frac{x - a_x}{v_x}=t \\ \frac{y - a_y}{v_y} = t\end{array} \right.,$$ que resulta em $$ \frac{x - a_x}{v_x}=\frac{y - a_y}{v_y}.$$

Equação geral da reta

A equação geral da reta pode ser encontrada de diferentes maneiras, dependendo da informação que está disponível, uma maneira pode ser mais conveniente que a outra.

Vetor Normal

Uma forma de encontrarmos a equação geral da reta é através de um vetor normal e um ponto por onde a reta passa.

Considerando a figura acima, fica claro que qualquer ponto \(P\) que pertence a reta \(r\), precisa obedecer a relação de perpendicularidade entre dois vetores: $$ \vec{AP} \cdot \vec{n} = 0.$$

Podemos escrever a equação da reta em termos das componentes de \(P(x,y)\), \(A(\color{darkorange}{a_x}, \color{darkorange}{a_y})\) e \(\vec{n}=(\color{blue}{a},\color{red}{b}),\) como \(\vec{AP}=P-A=(x-\color{darkorange}{a_x}, y -\color{darkorange}{a_y})\), temos que $$ \color{blue}{a}x+\color{red}{b}y+\color{green}{c}=0,$$ para \(\color{green}{c}=-\color{darkorange}{a_x} \color{blue}{a} -\color{darkorange}{a_y} \color{red}{b}.\)

Dois pontos

Só existe uma reta que passa através de dois pontos dados. Considere \(A(a_x,a_y)\) e \(B(b_x, b_y)\). Um ponto qualquer \(P(x,y)\) pertencerá a reta \(r\) se o vetor \(\vec{AB}\) for paralelo ao vetor \(\vec{AP}\), $$ \vec{AB} \parallel \vec{AP} \Leftrightarrow P \in r .$$

Se dois vetores são paralelos, a área do paralelogramo definido por eles é zero, logo, temos que $$r: \left| \begin{array} {c} b_x -a_x & b_y -a_y \\ x -a_x & y -a_y \end{array} \right|=0.$$ Calculando o determinante, encontramos $$ r: a'x+b'y+c'=0,$$ para \(a'=-(b_y-a_y)\), \(b'=(b_x-a_x)\) e \(c'=a_x(b_y-a_y)-a_y(b_x-a_x)\).

Equação dos eixos coordenados

O eixos coordenados são retas, logo, podemos encontrar suas equações. Vamos considerar os vetores unitários \(\hat{i}=(1,0)\) e \(\hat{j}=(0,1)\).

Eixo-x

O eixo-x tem vetor normal \(\hat{j}\), é paralelo a \(\hat{i}\) e passa pelo ponto \(O(0,0)\) (origem), logo:

• a equação geral é $$ \text{eixo-x}: y=0;$$
• a equação paramétrica é $$ \text{eixo-x}:\left\{ \begin{array} {c} x=t \\ y=0 \end{array} \right., t \in \mathbb{R}. $$.

Eixo-y

O eixo-y tem vetor normal \(\hat{i}\), é paralelo a \(\hat{j}\) e passa pelo ponto \(O(0,0)\) (origem), logo:

• a equação geral para o eixo-y é $$ \text{eixo-y}: x=0 ;$$
• e a paramétrica é $$ \text{eixo-y}:\left\{ \begin{array} {c} x=0 \\ y=t' \end{array} \right., t' \in \mathbb{R}. $$.