Qual é a distância entre um ponto e uma reta? Dado um ponto \(P\) e uma reta \(r\), existem infinitos caminhos que podemos percorrer para ir de \(P\) para \(r\), logo, existem infinitas distâncias entre \(P\) e \(r\). Sendo assim, vamos definir a distância entre um ponto e uma reta como a menor distância para irmos de \(P\) para \(r\). É fácil perceber que o menor caminho é através de uma reta perpendicular a \(r\) que passa por \(P\).

Distância entre ponto e reta

Queremos encontrar a distância \(d_{P,r}\) entre o ponto \(P\) e a reta \(r\), vide figura.

Considerando que conhecendo a reta \(r\), é possível encontrar um ponto \(A\) que pertence a \(r\) para depois encontrar o vetor \(\vec{AP}=P-A\). Da figura, fica claro que para encontrarmos \(d\) basta decompor \(\vec{AP}\) na direção \(\vec{n}\), que é o vetor normal à reta \(r\), ou seja, $$ d = \frac{|\vec{AP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|},$$ de forma que é necessário tirar o módulo do produto escalar, pois distância é sempre um valor positivo.

Sendo \(\vec{n}=(a, b)\), \(P=(x_p, y_p)\) e \(A=(x_a, y_a)\), temos $$ d=\frac{|ax_p+by_p +d|}{\sqrt{a^2+b^2}}, $$ que é a distância do ponto \(P\) à reta \(r:ax+by+d=0,\) tal que \(d=-ax_a-by_a\).