Vamos encontrar a área do paralelogramo definido por 2 vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\).

Considerando a figura, a parte hachurada é a área \(A\) de um paralelogramo com base de comprimento \(|\vec{u}|\) e altura \(h\), de maneira que $$ A=h |\vec{u}|.$$ Usando trigonometria, sabemos que \(h = |\vec{v}| |sen(\theta)\)|, e assim temos que $$ A = |\vec{u}||\vec{v}||sen(\theta)|.$$

Vamos tentar escrever a área só em função das componentes dos vetores \(\vec{u}=(a,b)\) e \(\vec{v}=(c,d)\). Como \(cos^2(\theta) + sen^2(\theta)=1,\) podemos escrever o seguinte \(sen(\theta)= \pm \sqrt{(1-cos^2(\theta))},\) e usando que \(cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}\), temos $$ A=\sqrt{|u|^2|v|^2-(\vec{u} \cdot \vec{v})^2}.$$ Usando as componentes dos vetores, encontramos $$ A = \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2) - (ab+cd)^2} \\ A=|ad-bc|.$$ Ou seja, podemos escrever a área entre dois vetores como o módulo do determinante da matriz cujas linhas são os vetores \(\vec{u}=(a,b)\) e \(\vec{v}=(c,d)\), $$ A= |\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix}| .$$