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Existem diferentes produtos (multiplicação) entre vetores, um deles é o produto escalar cujo resultado é um número. Aqui abordaremos o produto vetorial, que é o produto entre vetores que tem como resultado um vetor.

Considere os vetores \(\vec{v}\) e \(\vec{u}\), o produto vetorial entre estes dois vetores resultará em um novo vetor, que chamaremos de \(\vec{p}\). Este produto pode ser representado, matematicamente, da seguinte maneira: $$ \vec{v} \times \vec{u} = \vec{p}.$$ A direção do vetor \(\vec{p}\) pode ser encontrada de forma qualitativa usando a "Regra da mão direita", como ilustra a figura, mas o cálculo é feito através de um determinante.

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Regra da mão direita. O produto vetorial entre \(\vec{v} \times \vec{u}\) resulta em um vetor \(\vec{p}\) que é ortogonal aos vetores \(\vec{v}\) e \(\vec{u}\), como ilustra a figura. O sentido de \(\vec{p}\) dependerá da ordem do produto, pois no caso do produto \(\vec{u} \times \vec{v}\) teriamos que trocar a posição do indicador com o médio, de maneira que o polegar apontaria para baixo.

Cálculo do produto Vetorial

Considere os vetores \(\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)\) e \(\vec{u}=(u_x,u_y,u_z)\), o produto vetorial entre eles é definido como $$\vec{v} \times \vec{u} \equiv \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ v_x & v_y & v_z \\ u_x & u_y & u_z \end{vmatrix}, $$ que é o determinante de uma matriz (note que foi usado \(||\), essas barras corridas denotam o determinante da matriz), os vetores unitários \(\hat{\imath}\), \(\hat{\jmath}\) e \(\hat{k}\) são a base canônica do \(\mathbb{R}^3\). Calculando o determinante, podemos escrever o produto vetorial como: \begin{equation} \vec v \times \vec u = \\ =(v_y u_z - v_z u_y) \hat{\imath}\\ -(v_x u_z - v_z u_x) \hat{\jmath}\\ +(v_x u_y - v_y u_x) \hat{k}. \end{equation} Por fim, usando que \(\hat{\imath}=(1,0,0)\), \(\hat{\jmath}=(0,1,0)\) e \(\hat{k}=(0,0,1)\), temos \begin{equation} \vec v \times \vec u = \\ (v_y u_z - v_z u_y, v_z u_x - v_x u_z, v_x u_y - v_y u_x). \end{equation}

Propriedades do produto vetorial

Note que quando trocamos duas linhas de uma matriz o determinante muda de sinal (verifique!), logo, temos que \begin{equation} \vec v \times \vec u = -(\vec u \times \vec v). \end{equation} Ou seja, a ordem dos fatores ALTERA o produto.

É possível demostrar a seguinte relação para o módulo do produto vetorial: \begin{equation} |\vec v \times \vec u | = |\vec v| |\vec u | sen (\theta), \end{equation} tal que \(\theta\) é o ângulo entre \(\vec u\) e \(\vec v\).

Área entre dois vetores e o produto vetorial

A área \(A\) do paralelogramo definido por dois vetores \(\vec u\) e \(\vec v\) é o módulo do produto vetorial definido por estes dois vetores, \begin{equation} A = |\vec u \times \vec v|. \end{equation}

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A área do paralelogramo (região hachurada) definida por dois vetores (\(\vec u\) e \(\vec v\)) é o módulo do produto vetorial entre estes dois vetores.
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