A representação de pontos e vetores no espaço 3D é através do \(\mathbb{R}^3\). Muitas operações do \(\mathbb{R}^2\) são idênticas no \(\mathbb{R}^3\), com a diferença que no \(\mathbb{R}^3\) temos uma coordenada a mais. Nesta secção veremos as operações que são semelhantes entre estes dois espaços e as características básicas desse espaço.

O espaço vetorial \(\mathbb{R}^3\)

O \(\mathbb{R}^3\) é o conjunto de todas as possíveis triplas de variáveis reais ordenadas, isto é, três coordenadas, ou seja \begin{equation} \mathbb{R}^3 = \{(x,y,z)|x,y,z \in \mathbb{R}\}. \end{equation} A diferença do \(\mathbb{R}^3\) para o \(\mathbb{R}^2\) é que o \(\mathbb{R}^2\) está limitado a um plano, já o \(\mathbb{R}^3\) permite a definição de figuras geométricas com volume.

Muitas operações entre as triplas ordenadas do \(\mathbb{R}^3\) são idênticas as operações entre os pares ordenados do \(\mathbb{R}^2\), assim como suas interpretações geométricas são similares. No entanto, é muito mais fácil entender as relações geométricas entre vetores e pontos no plano, \(\mathbb{R}^2\), do que no espaço, \(\mathbb{R}^3\). Sendo assim, caso você não entenda a interpretação geométrica da soma, subtração e outras operações de dois pares ordenados, é melhor voltar e estudar essas relações no \(\mathbb{R}^2.\)

Considerando \(a,b,c,x,y,z,k \in \mathbb{R}\), a álgebra básicas entre triplas ordenadas é \begin{equation} (a,b,c)+(x,y,z)=(a+x, b+y, c+z), \\ (a,b,c)-(x,y,z)=(a-x, b-y, c-z), \\ k \cdot (a,b,c) = (k \cdot a,k \cdot b,k \cdot c), \\ |(a,b,c)|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}, \\ (a,b,c) \cdot (x,y,z) = a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z . \end{equation}

No entanto, apesar de muitas operações serem análogas entre o \(\mathbb{R}^3\) e o \(\mathbb{R}^2,\) temos operações que são exclusivas do \(\mathbb{R}^3\), que estudaremos nas seções subsequentes.

Eixos coordenados e base canônica

O \(\mathbb{R}^3\) tem três eixos, o eixo-\(x\), também conhecido como abscissa, o eixo-\(y\), também chamado de ordenada, e o eixo-\(z\), também conhecido como cota.

A base canônica do \(\mathbb{R}^3\) é um conjunto ordenado de três vetores unitários, {\(\hat \imath\),\(\hat \jmath\),\(\hat k\)}, tal que $$ \hat \imath = (1,0,0),$$ $$ \hat \jmath = (0,1,0)$$ e $$ \hat k = (0,0,1).$$ A base canônica permite a representação de um vetor em termo dos vetores unitários da base, por exempolo: $$ \vec v = (a,b,c) = a \hat \imath + b \hat \jmath + c \hat k .$$