- Geometria Analítica
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- No espaço (3D)
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- Intersecção entre 3 planos
Quando queremos encontrar a intersecção entre 3 planos, muitas possibilidade de soluções aparecem.
Esquema gráfico das soluções
As possíveis soluções são:- Um ponto
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Três planos podem ter como intersecção um único ponto, neste caso, a solução é única. - Uma reta
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Três planos podem ter como intersecção uma reta, neste caso, a solução é dita indeterminada, pois existem infinitos pontos que são soluções, os pontos ao longo da reta. - Um plano
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Três planos podem ter como intersecção um plano, neste caso, a solução é dita indeterminada, pois existem infinitos pontos que são soluções, os pontos sobre o plano.
Esquema gráfico de sistemas sem solução
É possível que o sistema não admita solução, como ilustram as figuras abaixo.
Método analítico para determinar o tipo de solução
Não é tão simples construir uma figura para determinar a relação entre 3 planos, desta forma, é mais conveniente procurar métodos analíticos.
Das figuras, é possível concluir que:
- uma única solução (um ponto) será possível se nenhum dos planos forem paralelos entre si;
- uma única solução só ocorrerá se os vetores normais dos planos não estiverem todos no mesmo plano.
Considere o sistema de 3 planos \begin{equation} S: \left\{ \begin{array}{c} a_0 x + b_0 y + c_0 z = d_0 \\ a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \end{array}\right., \end{equation} no caso, os vetores normais aos planos são \(\vec{n}_0=(a_0, b_0,c_0)\), \(\vec{n}_1=(a_1, b_1,c_1)\), \(\vec{n}_2=(a_2, b_2,c_2)\). A matriz dos coeficientes do sistema, é formada pelos vetores normais dos planos, \begin{equation} A= \begin{bmatrix} a_{0} & b_{0} & c_{0} \\ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{bmatrix}. \end{equation} O produto misto dos vetores normais é o determinante da matrix dos coeficientes, $$ [\vec{n}_1,\vec{n}_2,\vec{n}_3]=det A.$$
Com isto, podemos concluir o seguinte
- Se \(det(A) \ne 0\) o sistema \(S\) é determinado;
- Se \(det(A) = 0\) o sistema \(S\) é indeterminado ou impossível (inconsistente).
Determinar se um sistema é indeterminado ou impossível
Uma vez que calculamos o determinante da matriz dos coeficientes, e no caso dele ser zero, a única maneira de diferenciar se o sistema é indeterminado ou impossível é resolvendo o sistema. No caso de um sistema com 3 incógnitas, não é prático colocar as variáveis em evidência para depois substituir em outras equações, o método mais eficiente, na maioria dos casos, é o escalonamento.
