Considere o sistema linear \begin{equation} S: \left\{ \begin{array}{c} a_0 x + b_0 y + c_0 z = d_0 \\ a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \end{array}\right., \end{equation} que tem uma matriz estendida \begin{equation} A= \left[ \begin{array}{ccc|c} a_{0} & b_{0} & c_{0} & d_{0}\\ a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1}\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \end{array} \right]. \end{equation}

A matriz estendida representa o sistema de forma mais enxuta. No entanto, precisamos refletir sobre quais operações podem ser feitas sobre a matriz de forma a obter um sistema mais simples mas com as mesmas soluções do sistema original.

Operações Elementares

As operações que podemos realizar sobre um sistema linear que não alteram suas soluções são conhecidas como Operações Elementares. São elas:

• trocar uma linha de lugar com uma outra;
• multiplicar toda uma linha por uma constante não nula;
• somar a uma linha um múltiplo de outra linha.

Ao aplicarmos operações elementares a um sistema (matriz aumentada) teremos um sistema equivalente, cuja solução é a mesma do sistema original, mas, com sorte, o sistema equivalente é mais simples de resolver.

Por exemplo, considere o sistema \begin{equation} W: \left\{ \begin{array}{c} 2 x + 2 y + 2 z = 2 \\ 2 x + 1 y + 1 z = 2 \\ 1 x + 1 y + 2 z = 3 \end{array}\right., \end{equation} a matriz estendida do sistema é \begin{equation} A= \left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right]. \end{equation} Vamos aplicar algumas operações elementares para facilitar a resolução.

\(l_1 \rightarrow l_1 / 2\)

\begin{equation} A_a= \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right]. \end{equation}

\(l_2 \rightarrow l_2 - 2l_1\)

\begin{equation} A_b= \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right]. \end{equation}

\(l_3 \rightarrow l_3 - l_1\)

\begin{equation} A_c= \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]. \end{equation}

Veja que a matriz \(A_c\) é equivale ao sistema \begin{equation} W_{eq}: \left\{ \begin{array}{c} 1 x + 1 y + 1 z = 1 \\ 0 - 1 y - 1 z = 0 \\ 0 + 0 + z = 2 \end{array}\right., \end{equation} cuja solução é bem fácil de encontrar. Da última equação, temos que \(z=2\), da segunda equação, temos que \(y=-z=-2\) e da primeira equação, \(x=1-y-z=1\), ou seja, \((x,y,z)=(1,-2,2).\) Repare que esta solução também resolve o sistema original \(W\).