Em geometria, podemos falar do lugar geométrico dos pontos que têm todos uma mesma propriedade. Por exemplo, podemos nos referir a uma circunferência como sendo o lugar geométrico dos pontos que distam \(r\) de um ponto \(C\).

Mediatriz

É o lugar geométrico dos pontos que estão distantes de um ponto \(A\) e da mesma distância que estão de um ponto \(B\).

Vamos encontrar a equação da reta \(r\) dados os pontos \(A(a_x,a_y)\) e \(B(b_x,b_y),\) logo $$r: |\overline{AP}| = |\overline{BP}|.$$ Sendo \(|\overline{AP}| = \sqrt{(x-a_x)^2+(y-a_y)^2}\) e \(|\overline{BP}| = \sqrt{(x-b_x)^2+(y-b_y)^2},\) quadrando os dois lados da equação e desenvolvendo os produtos notáveis, temos $$ r: 2(a_x-b_x)x+2(a_y-b_y)y-a_x^2-a_y^2+b_x^2+b_y^2=0.$$ Se chamarmos \(a=2(a_x-b_x)\), \(b=2(a_y-b_y)\) e \(c=-a_x^2-a_y^2+b_x^2+b_y^2\), temos que $$ r: ax+by+c=0,$$ que é uma equação de reta, cujo vetor normal é \(\vec{AB}\) e passa pelo ponto médio do segmento \(\overline{AB}\), como esperado.

Bissetrizes

É o lugar geométrico dos pontos que estão distantes de uma reta \(r\) a mesma distância que estão de uma reta \(s\).

Considere as retas \(r: a_r x + b_r y + c_r = 0\) e \(s: a_s x + b_s y + c_s = 0.\) Queremos o ponto \(P(x,y)\) que dista de \(s\) o mesmo que dista de \(r\). Usando a fórmula da distãncia do ponto a reta, temos $$ \frac{|a_r x + b_r y + c_r|}{\sqrt{a_r^2 + b_r^2}} = \frac{|a_s x + b_s y + c_s|}{\sqrt{a_s^2 + b_s^2}}.$$ Esta equação modular pode ser decomposta em duas: $$ \frac{a_r x + b_r y + c_r}{\sqrt{a_r^2 + b_r^2}} = \frac{a_s x + b_s y + c_s}{\sqrt{a_s^2 + b_s^2}}$$ e $$ \frac{a_r x + b_r y + c_r}{\sqrt{a_r^2 + b_r^2}} = \frac{-(a_s x + b_s y + c_s)}{\sqrt{a_s^2 + b_s^2}},$$ que levam a duas equações de retas, que são as duas soluções ilustradas na figura, \(b_1\) e \(b_2\).

Cônicas

As cônicas são figuras geométricas definidas através da intersecção de um cone com um plano. As figuras que podem ser obtidas nessa intersecção, e que são chamadas de cônicas, são: circunferência, elipse, parábola e hipérbole. Estas curvas serão estudadas nas próximas seções.