Sistemas de Numeração

São quatro os sistemas mais importantes:

• Sistema de numeração decimal
• Sistema de numeração binário
• Sistema de numeração sexagesimal
• Sistema de numeração romano

Sistema de Numeração Decimal

O sistema de numeração decimal é o sistema que usamos atualmente em todos os países do planeta, é baseado nos 10 algarismos indo-arábicos e por isto também é chamado de Sistema de Numeração Base 10.

Dizemos que é um sistema posicional porque cada vez que um algarismo é colocado numa ordem à esquerda, ele tem o seu valor multiplicado por 10. Se for deslocado mais uma vez no número, para esquerda, ele tem seu valor multiplicado por 100 e assim sucessivamente pelas outras potências de 10.

Cada algarismo quando considerado sozinho tem seu valor chamado de valor absoluto. A medida que este algarismo é colocado uma casa à esquerda ele passa a ter um valor relativo 10 vezez maior que na casa anterior. Estas casas chamam-se ordens. As ordens são contadas da direita para a esquerda.

1. A primeira ordem se chama a ordem das unidades,
2. A segunda ordem se chama dezenas simples,
3. A terceira ordem se chama centenas simples,
4. A quarta ordem se chama unidades de milhar,
5. A quinta ordem se chama dezenas de milhar,
6. A sexta ordem se chama centenas de milhar,
7. A sétima ordem se chama uma unidades de milhão,
8. A oitava ordem se chama dezenas de milhão,
9. A nona ordem se chama centenas de milhão,
10. A décima ordem se chama unidades de bilhão,
11. e assim por diante.

Cada grupo de três ordens forma uma classe. Os nomes das classes da direita para esquerda são:

1. Classe das unidades simples,
2. Classe dos milhares,
3. Classe dos milhões,
4. Classe dos bilhões,
5. Classe dos Trilhões,
6. Classe dos quatrilhões,
7. e assim por diante.

Todo número do sistema decimal pode ser escrito como uma soma de fatores com potências sucessivas de 10.

exemplo 1:

1. \(2345 = 2000+ 300+ 40+ 5\)
2. \(2345 = 2 \times 1000+ 3 \times 100+ 4 \times 10+ 5\)
3. \(2345 = 2 \times 10^3 + 3 \times 10^2+ 4 \times 10^1 + 5 \times 10^0\)

Sistema de numeração binária

É o sistema que é mais usado na informática

É baseado na ideia ligado ou desligado que se pode observar nos circuitos lógicos elétricos.

Possui apenas dois algarismos, que correspondem ao 0 e 1 e por isto dizemos que é um sistema de base 2.

Também é um sistema posicional e por isto, com os dois algarismos, podemos escrever todos os números que conhecemos.

O valor do zero será sempre o mesmo: tanto valor absoluto do zero é zero quanto seu valor relativo. O valor do 1 é que vai variar:

• quando localizado na primeira ordem tem o seu valor absoluto,
• quando posicionado na segunda ordem o 1 tem o seu valor multiplicado por 2 e o seu valor relativo será 2,
• quando posicionado na terceira ordem, o 1 tem o seu valor absoluto multiplicado por \(2^2\) e o seu valor relativo passa a ser 4.
• A cada nova posição no sentido da direita para esquerda a potência de 2 tem o seu expoente aumentado de uma unidade.

Assim:

1. Na Primeira Ordem o 1 vale 1 que corresponde a \(1 \times 2^0\),
2. Na Segunda Ordem o 1 vale 2 que corresponde a \(1 \times 2^1\),
3. Na Terceira Ordem o 1 vale 4 que corresponde a \(1 \times 2^2\),
4. Na Quarta Ordem o 1 vale 8 que corresponde a \(1 \times 2^3\),
5. Na Quinta Ordem o 1 vale 16 que corresponde a \(1 \times 2^4\)

   e assim por diante.

Exemplo 2, de alguns números do sistema decimal escrito no sistema binário:

$$ 1_{10} = 1_2 $$ $$ 2_{10} = 10_2 $$ $$ 3_{10} = 11_2 $$ $$ 4_{10} = 100_2 $$ $$ 5_{10} = 101_2 $$ $$ 6_{10} = 110_2 $$ $$ 7_{10} = 111_2 $$ $$ 8_{10} = 1000_2 $$ $$ 9_{10} = 1001_2 $$ $$ 10_{10} = 1010_2 $$

$$ 11_{10} = 1011_2 $$ $$ 12_{10} = 1100_2 $$ $$ 13_{10} = 1101_2 $$ $$ 14_{10} = 1110_2 $$ $$ 15_{10} = 1111_2 $$ $$ 16_{10} = 10000_2 $$ $$ 17_{10} = 10001_2 $$ $$ 18_{10} = 10010_2 $$ $$ 19_{10} = 10011_2 $$ $$ 20_{10} = 10100_2 $$

Todo número no sistema binário pode ser escrito como uma soma de fatores com sucessivas potências de 2: !!! inserir exemplos !!!

As máquinas dos computadores processam a informação no sistema binário através de seus circuitos digitais. Dentro do computador Há um programa que traduz os resultados para o sistema decimal e vice-versa, através de algoritmos.

Algorítmo para passar o número do numeral no sistema decimal para o numeral no sistema binário

• Dividimos um número por 2 e o resultado vai ser sucessivamente dividido por 2 até encontrarmos resultados 1.
• No final, pegar o último resultado e os restos das divisões, das últimas divisões para a primeira.

Exemplo 3: Escrevendo 75 no sistema binário. \begin{equation} \left. \begin{array}{c | c} 75 \div 2 & 1 \\ 37 \div 2 & 1 \\ 18 \div 2 & 0 \\ 9 \div 2 & 1 \\ 4 \div 2 & 0 \\ 2 \div 2 & 0 \\ 1 \div 2 & 1 \\ \end{array} \right\} 1001011_2 \end{equation} Isto é \(75_{10} = 1001011_2.\)

Algorítmo para passar o número do numeral no sistema binário para o numeral no sistema decimal

• Multiplicar cada algarismo do número binário por uma potência de dois e somar estas multiplicações.
• Cada potência de 2 deverá ter os expoentes começando pelo zero e passando sucessivamente por todos os números naturais até a última potência de 2 a ser multiplicada.
• Deve-se colocar estes expoentes do sentido da direita para esquerda.

Exemplos 4: Escrever números binários na base 10.

1. $$ 101_2= ?_{10} $$ $$ = (1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 10^0)_{10} $$ $$101_2 = 5_{10} $$ Ou seja, 101 na base 2 é 5 na base 10.
2. $$ 1001_2= ?_{10} $$ $$ = (0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 10^0)_{10} $$ $$1001_2 = 7_{10} $$ Ou seja, 1001 na base 2 é 7 na base 10.

Sistema de numeração hexadecimal

Sistema ainda empregado na medida de ângulos e no sistema de medida de tempo.

Definições:

• Uma hora tem 60 minutos e 1 Minuto tem 60 Segundos.
• No caso de ângulos, um grau tem 60 minutos e 1 minuto tem 60 segundos.

Conversões:

• Se eu tenho uma quantidade de minutos e quero saber qual a quantidade de segundos correspondente, tenho que multiplicar por 60.
• Se eu tenho uma quantidade de segundos e quero saber a quantidade de minutos, tenho que dividir por 60.

Se o sistema hexagesimal fosse o único a ser usado, exigia a utilização 60 símbolos como algarismos, o que não é nada prático. No caso de ângulos foi criada a unidade radianos, que é mais utilizada e mais compatível com o sistema decimal.

Sistema de numeração romano

É um sistema que só utilizamos para numerar os séculos e colocar em alguns tipos.

Seus algarismos são sete letras maiúsculas do alfabeto e seus sistema posicional tem regras completamente diferentes do sistema decimal.

Regras:

1. Cada letra tem um valor absoluto: $$I=1,$$ $$V=5,$$ $$X=10,$$ $$L=50,$$ $$C=100,$$ $$D=500,$$ $$M=1000.$$
2. As letras \(I\), \(X\), \(C\) e \(M\) podem ser repetidas três vezes.
3. As letras \(I\), \(X\) e \(C\) podem ser colocadas três vezes a direita das letras \(V\), \(L\), \(D\) e \(M\). sendo seus valores absolutos somados as anteriores.
4. As letras \(I\), \(X\) e \(C\) podem ser colocadas apenas uma vez à esquerda das letras \(X\),\(V\), \(L\), \(D\) e \(M\) e sendo seus valores absolutos diminuindos dos últimos.
5. \(\overline{M}\) representa a classe dos milhões, ou seja, basta colocamos um traço acima da letra \(M\) que ela terá seu valor absoluto multiplicado por mil.
6. \(\overline{\overline{M}}\) representa a classe dos bilhões, ou seja, basta colocamos dois traço acima da letra \(M\) que seu valor será miltiplicado por $${1 000 000}$$.
7. Devemos escrever as letras em ordem decrescente de seus valores absolutos com alguma excessões:
   • \(I\) pode ser escrito antes de \(V\) e \(X\)
   • \(X\) pode ser escrito antes de \(L\) e \(C\)
   • \(C\) pode ser escrito antes de \(D\) e \(M\)

Exemplo 5: $$ IV =4 $$ $$ DC =600 $$ $$ IX =9 $$ $$ XI =11 $$ $$ MCMXLVI = 1946 $$ $$\overline{MM}CM = 2.000.900$$