Regras de Sinais

Os números do conjunto \(\mathbb{R}\), contém dois grandes grupos, que são o conjunto dos números negativos e o conjunto dos números positivos, estes últimos podem ser escritos com ou sem sinal positivo. O zero é o único número do conjunto que não tem sinal.

Quando realizamos as operações matemáticas entre os números, devemos sempre levar em conta os seus sinais. Para isto temos um conjunto de regras.

Para entender melhor, e fixar as regras de sinais, devemos sempre lembrar o que é módulo de um número relativo.

O módulo é uma função que aplicada a um número qualquer o torna positivo. De uma forma muito simples podemos dizer que é o módulo de um número é o próprio número sem sinal. Lembrando que todo número sem sinal é positivo.

1ª regra: soma e subtração de sinais iguais

Soma os módulos dos números e repete os sinais.

De forma mais simples:

• menos com menos dá menos
• mais com mais dá mais.

Exemplos 1: $$-8-16=-24$$ $$+7+9=+16$$ $$18+12 = 30 \text{ (notação mais comum)}$$

2ª regra: soma e subtração de sinais diferentes.

diminuir os módulos dos números e coloca na resposta o sinal do maior.

Consequência:

• menos com mais a resposta tem o sinal do maior número
• mas com menos a resposta tem o sinal do maior número

exemplo 2:$$ -8+5=-3$$ $$ 10-19=-9$$ $$ -2+7=+5$$ $$ 15-4=+11 \, \text{ (Notação mais comum)}$$

3ª regra: multiplicação e divisão de sinais iguais

Multiplicar ou dividir o módulo dos números colocando sempre na resposta o sinal positivo

Consequências:

• menos vezes menos dá mais menos
• dividido por menos dá mais
• mais vezes mais dá mais
• mais dividido por mais dá mais

Exemplos 3: $$ (-9) \times (-4) = +36$$ $$(-28) \div (-7) = +4$$ $$ (+12) \times (+7) = +84 $$ $$ (+125) \div (+5) = +25 $$

4ª regra: multiplicação e divisão de sinais diferentes

Multiplica ou divide os módulos dos números e coloca sempre na resposta o sinal negativo.

Consequências:

• menos vezes mais dá menos
• menos dividido por mais dá menos
• mais vezes menos dá menos
• mais dividido por menos dá menos

Exemplo 4: $$(-6)\times(+4)=-45$$ $$(-20)\div(+2)=-10$$ $$(+32)\times(-3)=-96$$ $$(+72)\div(-8)=-9$$ $$(-9)\times5=-45$$ $$(-36) \div 3=-12$$ $$28 \times (-2)=-56$$ $$33\div(-3)=-11$$

Note que os parênteses não são necessários quando o número tem sinal \(+\), e é preferível não escrever o sinal \(+\) depois de \(\times\) ou \(\div\).

Aplicação da regra de sinais

Podemos entender menos com menos na seguinte situação real: uma dívida com outra dívida, ou seja, duas dívidas. O resultado lógico será a dívida correspondente ao total. Portanto: menos com menos dá menos.

De outro lado: menos vezes menos dá mais e menos dividido por menos dá mais; trata-se de uma convenção que se mostra muito útil nas aplicações reais.

Menos com mais e mais com menos terá o sinal do número maior, pode ser entendido através da seguinte situação:

1. uma dívida que alguém quer pagar uma parte resultado será uma dívida menos.
   Exemplo 5: $$-35+15=-20.$$ Nesta situação: menos com mais dá menos.
2. uma dívida que tem dinheiro para pagar entrega um valor maior que a dívida. entendemos que ela deverá receber um valor que chamamos de troco e este valor é positivo.
   Exemplo 6: $$-18+30=12$$ Nesta situação: menos com mais dá mais.
3. A pessoa tem um valor numa conta bancária e faz uma retirada menor do que tem. o o resultado será um número positivo.
   Exemplo 7: $$120-35=85$$ Nesta situação mais com menos dá mais
4. Quando a pessoa quer retirar do banco um valor maior do que ela tem na conta o banco terá que emprestar o valor excedente e anotar a e isto com sinal negativo.
   Exemplo 8: $$120-160=-40$$ Nesta situação: mais com menos dá menos.

Importantes saber: as regras de sinais aplicam-se a todos os conjuntos numéricos: \(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}, \mathbb{R} \text{ e } \mathbb{C}\).
Exemplos 9: $$-\frac{5}{12} - 6 \frac{1}{12}=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}$$ $$-2\sqrt{3}+7\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$ $$-\pi- \pi=-2\pi$$ $$2+4i-(5+7i)=-3-3i$$

Potência de números negativos

Depende do sinal do expoente!

• Se o expoente for par, o resultado será sempre positivo
  Exemplo 10: $$(-3)^4=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)=81$$
• Se o expoente for ímpar o resultado será sempre negativo.
  Exemplo 11: $$(-2)^3=(-2)\times(-2)\times(-2)=-8$$

Outras regras de sinais

Potência de expoente negativo

o sinal negativo no expoente indica a escrita do Inverso de um número. podemos Fazer com que o expoente seja escrito com sinal positivo mudando o número ou expressão debaixo expoente para outra linha.

se estiver escrito com expoente negativo no denominador ao passarmos aquela expressão para o numerador, Já teremos o sinal positivo. e vice-versa se tiver expoente negativo numerador ao passarmos para o denominador do expoente ficará positivo.

de uma forma mais simples, o sinal negativo indica que o número ou expressão deverá ser escrito na outra linha com sinal positivo.

Exemplo 12: $$ \frac{-\sqrt{2}}{(3)^{-5}}=-3^5\sqrt{2}$$ $$7^{-8}=\frac{1}{7^8}$$ $$ \frac{3}{\sqrt{2}^{-3}}=3\sqrt{2}^3$$

Raiz de um número negativo

• Só é possível se obter um número real quando a raiz tiver um número índice ímpar. Exemplo 13: $$\sqrt[3]{-8}=-2$$
• Quando o índice da raiz não for par, não será possível obter um número real. Exemplo 14: $$\sqrt{-4}=\sqrt{4\times(-1)}=\sqrt{4} \times \sqrt{-1}=2\sqrt{-1}$$ $$\sqrt{-4}=2\sqrt{-1}=2i$$ No exemplo acima \(i=\sqrt{-1}\) é chamado de unidade imaginária, que é a base da construção do Conjunto dos Números Complexos.

Comentários

Regras de Sinais é um assunto muito importante porque é onde se encontra maior incidência de erros nas questões de qualquer assunto que envolva números.

Questões do tipo: Menos com menos dá menos ou dá mais?

Você pode memorizar regras ou entender o mecanismo.

Primeiro caso (o mais importante): menos com menos.

Nós podemos entender através da seguinte situação: uma dívida a qual é acrescentada outra dívida. O resultado lógico será o total da dívida. Então menos com menos dá menos.

Mas porque muita gente diz que dá mais? Porque na verdade menos vezes menos é que dá mais.

Então é importante distinguir se estamos só com menos com menos ou menos vezes menos.

Agora porque menos vezes menos dá mais? A resposta neste caso é porque é uma convenção.

No entanto quando temos só soma e subtrção, à operação de números de sinais contrários dá para associar com uma situação real.

Vejamos primeiro: menos com mais. É incomum, mas podemos pensar numa situação comum: temos uma dívida estamos pagando ainda que só uma parte.

Podemos prever três tipos de resultados:

1- Se pagamos a dívida toda o resultado será 0.

2 - Se pagamos apenas uma parte o resultado será a dívida que fica ou parte da dívida e será escrito com sinal negativo.

3 - Podemos ter o pagamento maior que a dívida, neste caso haverá o que chamamos de troco. Se pagamos mais do que devemos, diminuímos e encontramos um resultado com sinal positivo.

Daí as seguintes regras:

Primeira Regra: Sinais iguais - soma os módulos dos números e repete o sinal.

Lembrando que módulo é número sem sinal ou com sinal positivo.

Segunda regra: Sinais diferentes- diminuir os módulos dos números e coloca na resposta o sinal do número maior.

Simples assim! Lembrando que nossa memte tem que estar nos dois sinais. É nos sinais que devemos ter o foco, e saber que sinal obter na resposta.

Na multiplicação fica bem fácil entender um número negativo multiplicado por um positivo porque podemos imaginar uma dívida sendo multiplicada. Logicamente, esta multiplicação vai gerar o total da dívida então: menos vezes mais vai dar menos. Da mesma forma se multiplicarmos um número positivo por um negativo também podemos imaginar uma dívida sendo multiplicada de forma que encontraremos também o total da dívida.

Só o sinal da multiplicação de dois números negativos tem o sinal da resposta determinado por uma Convenção: Menos vezes menos dá mais.

A regra da divisão de números inteiros é a mesma que a da multiplicação. Podemos sintetizar a multiplicação e a divisão com duas regras:

Primeira Regra - A multiplicação e a divisão de sinais iguais sempre dará como resultado um número positivo.

Segunda regra - A multiplicação e a divisão de sinais diferentes sempre dará como resultado um número negativo.

É importante ressaltar que as regras de sinais valem para todos os números de todos os conjuntos numéricos, exceto o Conjunto dos Números Naturais, portanto funcionam da mesma forma com: frações, raízes e também com expressões algébricas.