Potenciação

É uma operação matemática que faz com que um número seja multiplicado por ele mesmo tantas vezes quanto indicar o pequeno número acima e a direita do número dado.

O número que queremos multiplicar, ou fator, se chama base e o número de vezes que queremos reperir estes fatores chamamos de expoente.

A Potenciação é uma forma de abreviar a multiplicação de muitos fatores iguais. Dessa forma, quando multiplicamos um número sucessivas vezes podemos realizar estas operações escrevendo o número apenas uma vez e a quantidade de vezes que o número é multiplicado.

$$a^b = c$$

a é a base, b é o expoente e c a potência.

A base nesse caso é o número que se repete, o expoente é a quantidade de vezes que esse número se repetiu e a potência é o nome do resultado.

Exemplo 1:

Seja a multiplicação 3 x 3 x 3 x 3, temos um sequência do número 3 multiplicado 4 vezes. Assim, podemos simplificar da seguinte forma:

$$3^4 = 12$$ Leia-se: três elevado a quatro é igual a doze

onde, 3 é o número a ser multiplicado, a base e 4 a quantidade de vezes que ele foi multiplicado, o expoente.

Mais exemplos de potenciação

• 4³ = 4 x 4 x 4 = 64
• 5² = 5 x 5 = 25
• 6¹ = 6

Propriedades da potenciação

1. Qualquer número natural elevado ao expoente 1 é igual ao próprio número.
   Exemplo 2: $$5^1 = 5$$
2. Qualquer número não-nulo elevado ao expoente 0 é igual a 1.
   Exemplo 3: $$3^0 = 1$$
3. Qualquer potência do número 1, isto é, que possui na base o número 1 é sempre igual a 1.
   Exemplo 4: $$1^{100} = 1$$
4. Qualquer potência que tem na base o número 10, o resultado é o número composto pelo algarismo 1 seguido da quantidade de zeros correspondente a quantidade indicada pelo número do expoente.
   Exemplo 5: $$10^5 = 100000$$  Observe que a quantidade de zeros é a mesma do expoente 5.
5. Um potência com expoente negativo é um numeral cujo número é o inverso do número, caso ele só fosse escrito com potência positiva.
   

   O inverso de um número inteiro é definido como uma fração onde o denominador é o próprio número e o numerador é sempre o número 1.

   O inverso de uma fração é uma outra fração onde o numerador é o denominador da primeira e o denominador é o numerador da primeira. Exemplo 6: $$5^{-3} = \frac{1}{5^3}$$
   

   Observe que a potência foi para o denominador sem o sinal, e o número 1 para o numerador.

   
   Exemplo 7:
   $$\left( \frac{1}{4} \right)^{-1} = 4$$
   $$\left( \frac{3}{2} \right)^{-1} = \frac {2}{3}$$

Propriedades da potenciação

São importantes para auxiliar e simplificar os cálculos envolvendo potenciação.

Produto de potências de mesma base

Ao multiplicar duas ou mais potências de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conservar a base e somar os expoentes.

Exemplo 8: $${5^2} \times {5^3} = 5^{2+3} = {5^5}$$

Divisão de potências de mesma base

Ao dividirmos potências não-nulas de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conservar a base e subtrair os expoentes.

Exemplo 9: $$ {5^6}\div {5^2}=\frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = {5^4}$$

Base negativa e expoente ímpar

Quando a base é negativa e o expoente é ímpar o resultado será negativo. colocar link de operações com números negativos

Exemplo 10: $$(-2)^3 = -8$$

Base negativa e expoente par

Quando a base é negativa e o expoente é par o resultado é positivo. colocar link de operações com n´meros negativos

Exemplo 11: $$(-5)^2 = 25$$

Potência de potência

Podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.
Exemplo 12: $$ {(4^3)}^2 = 4^{3 \times 2} = 4^6$$

Potência de um produto

Podemos distribuir o expoente pelos fatores do produto. Chamamos de Propriedade Distributiva de Potenciação em relação a Multiplicação.
Exemplo 13: $$(2 \times 3)^2 = (2^2 \times 3^2) = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36$$

Potência de divisão

Uma divisão com expoente devemos elevar tanto o numerador quanto denominador ao expoente.

Exemplo 14: $$({5\div3)}^3 = \left( \frac{5}{3} \right)^3 = (\frac{5}{3} \times \frac{5}{3} \times \frac{5}{3}) = \frac{5^3}{3^3}$$

Multiplicação de potência com o mesmo expoente

Quando multiplicamos duas ou mais potências com o mesmo expoente podemos reunir as bases destas potências sob o mesmo o expoente.

Exemplo 15: $$3^2 \times 2^2 = (3 \times 2)^2$$