São números que pertencem ao conjunto \(\mathbb{I}\), sua característica principal é possuir uma parte decimal infinita e não periódica. De forma mais simples: os números irracionais são dízimas não periódicas.

Uma grande parte dos números irracionais é constituída pleas raízes inexatas. Quando calculamos estas raízes, encotramos um númeral que tem uma parte decimal infinita e não periódica.

Algumas raízes inexatas podem ser simplificadas e serem escritas com uma parte inteira fora do radical, outra parte na forma de radical. Exemplo: $$ \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}. $$

Alguns números irracionais são representados por letras: $$ \pi = 3,1416...$$ $$ e=2,7182... $$

Simplificação de Radicais

Uma raiz inexata é um numeral do conjunto dos números irrracionais. Quando é possível simplificar uma raiz inexata temos um outro numeral, isto é, uma outra forma de escrever o mesmo número. Exemplo: $$ \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}.$$

Método de simplificação - fatoração

Substituímos o número dentro do radical pela sua forma fatorada. Todas as potências cujo expoentes forem múltiplos do índice, poderão sair do radical e seu novo expoente será o resultado da divisão do expoente pelo índice. Exemplos:
Ex. 1: $$\sqrt{192} = \sqrt[2]{2^6 \times 3} =\\ = \sqrt[2]{2^6} \times \sqrt{3} = 2^{\frac{6}{2}} \times \sqrt{3} = \\= 2^3 \sqrt{3} $$ Ex. 2: $$\sqrt[3]{2560} = \sqrt[3]{3^9 \times 5} = \\ = \sqrt[3]{3^9} \times \sqrt{5} = 3^{\frac{9}{3}} \times \sqrt{5} \\ = 3^3\sqrt[3]{5} = 27\sqrt[3]{5}$$

Se a potência não tiver expoente múltiplo do índice do radical, ela deverá ser desmembrada num produto de duas potẽncias de mesma base, de forma que uma da potências venha a ter expoente múltiplo do índice e possa sair do radical. Exemplos:
Ex. 3: $$ \sqrt{586} = \sqrt[2]{3^5 \times 2} = \sqrt[2]{3^4 \times 3 \times 2} = \\ = \sqrt[2]{3^4}\sqrt[2]{3\times 2}=3^\frac{4}{2}\sqrt{6} = \\ = 9\sqrt{6} $$ Ex. 4: $$ \sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{3^3 \times 3^1} =\\ =\sqrt[3]{3^3} \sqrt[3]{3^1} = 3\sqrt[3]{3} $$ Ex. 5: $$ \sqrt{216}=\sqrt{2^3 \times 3^3}= \\ =\sqrt{2^2 \times 2 \times 3^2 \times 3} = \\ = \sqrt{2^2 \times 3^2} \sqrt{2 \times 3} = \\ = 2\times 3 \times \sqrt{6}=6\sqrt{6} $$

Operação com números irracionais

Soma e subtração

Só podemos somar ou subtrair radicais semelhantes, isto é, de mesmo índice e mesmo radicando. Exemplos: $$ 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 7\sqrt{5}$$ $$ 7\sqrt{11} -9\sqrt{11} = -2\sqrt{5}$$ $$ -1\sqrt{2} -5\sqrt{2} = -6\sqrt{5}$$ $$ 12\sqrt{3} -12\sqrt{3} = 0$$

Note que há um caso especial, em geral, a soma ou subtração de um número racional é um número racional, no entanto, é possível obter o zero que não é irracional.

Multiplicação

Só podemos multiplicar diretamente números irracionais de mesmo índice. Se os índices forem diferentes será necessário reescrever estes números e depois poderemos multiplicar. Exemplos:
Ex. 6: $$ \sqrt{8} \times \sqrt{2} = \sqrt{8 \times 2} = \sqrt{16} = 4 $$ Ex. 7: $$ \sqrt{5} \times \sqrt{3} = \sqrt{5 \times 3} = \sqrt{15} $$ Ex. 8: $$ \sqrt{7} \times \sqrt{7} = \sqrt{7 \times 7} = \sqrt{49}=7 $$ Ex. 9: $$ 4\sqrt[3]{2} \times 5\sqrt[3]{2} = 20\sqrt[3]{2 \times 2}=\\ = 20\sqrt[3]{4} $$