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Médias

Média é um número obtido a partir de um conjunto de números, diferentes tipos de médias são calculadas em situação específica.

image/svg+xml Xm = 5 +7 + 9 =7 Xp = 5x2 + 7x3 = 6,2 3 3

Média aritmética simples
A média aritmética é a mais conhecida e utilizada entre as médias. Muitos professores a utilizam para calcular a média final obtida por um aluno. A média pode ser entendida como uma medida da tendência do valor da centralidade de determinados dados. Existem dois tipos de média aritmética: simples e ponderada. A média aritmética simples é obtida dividindo a soma de todos os valores que temos pela quantidade de valores. Geralmente expressamos a média pelo símbolo Xm. Suponhamos que existam uma quantidade n de dados (x1, x2, x3, ..., xn) . A média entre esses dados será: $$Xm=\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n}$$

Exemplo 1.
Calcule a média aritmética simples de um aluno que tirou as seguintes notas: 4, 6, 5 e 8. Solução: $$X_m=\frac{4+6+5+9}{4}=\frac {24}{4} \Rightarrow$$ $$X_m=6$$

Média aritmética ponderada
A média ponderada considera “pesos” para cada item, ou seja, em um conjunto de dados, cada item recebe uma importância. Vamos supor que tenhamos um conjunto com n dados (x1, x2, x3, ..., xn), onde cada dado receberá um peso, respectivamente (p1, p2, p3, ..., pn). Cada item será multiplicado pelo seu peso. A média será dada pela divisão entre esta soma e a soma dos pesos considerados. A média entre esses dados será representada por Pm e será dada por: $$X_p=\frac{x_1.p_1+x_2.p_2+x_3.p_3+...+x_n.p_n}{p_1+p_2+p_3+...+p_n}$$

Exemplo 2.
Uma aluna fez uma prova e obteve nota 9.1 e um trabalho, com nota 8,7. A média considera que a prova tenha peso 6 e o trabalho peso 4. Assim, a média dessa aluna será:
Solução.
$$X_p=\frac{9,1⋅6+8,7⋅4}{6+4}\Rightarrow$$ $$=\frac{54,6+34,8}{10}=\frac{89,4}{10} \Rightarrow$$ $$X_p=8,94 $$

Média geométrica

A média geométrica entre um conjunto de n dados é a raiz n-ésima da multiplicação desses dados. Considere um conjunto de n dados (x1, x2, x3, ..., xn). A média geométrica entre estes dados será: $$X_g=\sqrt[n]{x_1⋅x_2⋅x_3⋅...⋅x_n}$$

Aplicações. Em dados que se comportam próximo a uma progressão geométrica, também para encontrar o lado de quadrado e cubo, conhecendo a área e o volume respectivamente. A média geométrica é aplicada também em situações de acumulação de aumento ou decrescimento percentual e matemática financeira.

Exemplo 3.
Qual a média geométrica entre 2, 8 e 32?
Solução. $$X_g=\sqrt[3]{2⋅8⋅32} \Rightarrow$$ $$X_g=\sqrt[3]{512} \Rightarrow$$ $$X_g=8$$

Média harmônica
A média harmônica de um conjunto de n dados é obtida dividindo a quantidade de dados pela soma dos inversos dos dados. Considerando um conjunto de n dados (x1, x2, x3, ..., xn), a média harmônica entre esses dados, indicada por H, será: $$X_H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+...+\frac{1}{x_n}}$$

A média harmônica para é utilizada em situações que envolvem grandezas inversamente proporcionais, por exemplo a velocidade média, a vazão da água, a densidade etc. Algumas fórmulas da física, surgem da média harmônica.

Exemplo 4.
Qual a média harmônica entre 2, 5 e 6? $$H=312+15+16=31315=3⋅1513=4513≈3,46$$ $$X_H=\frac{3}{\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}}\Rightarrow$$ $$X_H=\frac{3}{\frac{15+6+5}{30}}=\frac{3}{\frac{26}{30}}=\frac{3}{\frac{13}{15}}\Rightarrow$$ $$X_H=\frac{3}{\frac{13}{15}}=\frac{3.15}{13}=\frac{45}{13}$$ $$X_H=\frac{45}{13}=3,462$$

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