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A Fração é um Numeral, isto é, uma das representações dos números que pertencem ao Conjunto dos Números Racionais. Ela representa a divisão de dois números inteiros. O elemento que fica na parte superior da fração é chamado de numerador ( corresponde ao dividendo), o da parte inferior é chamado de denominador (divisor), e este último nunca pode ser zero porque, em matemática, não existe divisão por zero.

Representação algébrica e gráfica de frações

image/svg+xml a / b = c e b=0 = 1 / 5 = 2 / 7

Uma fração é representada por três elementos, sendo um o numerador, o outro o traço de fração, que representa a divisão e o último o denominador, e este último nunca pode ser zero. Algebricamente, temos: $$\frac{a}{b} , {b} \ne {0}$$ onde \(a\) é o numerador, que fica acima, e \(b\) é o denominador, o elemento que fica embaixo.

Exemplos Gráficos:

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Imagine que o círculo amarelo representa uma pizza. Se você vai comer tal pizza sozinho, então ela só precisa ser dividida com você, esta operação pode ser representada como uma fração: $$ \frac{\text{1 pizza}}{\text{1 pessoa}} = \frac{1}{1} =1 $$
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Novamente imagine que o círculo amarelo representa uma pizza, mas agora você vai dividir esta pizza com apenas um amigo, esta operação pode ser representada como uma fração: $$ \frac{\text{1 pizza}}{\text{2 pessoa}} = \frac{1}{2},$$ ou seja, cada pessoa vai ficar com um meio de pizza, ou meia pizza.
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Novamente imagine que o circulo amarelo representa uma pizza, mas agora você vai dividir esta pizza com mais 3 amigos, esta operação pode ser representada com a fração: $$ \frac{\text{1 pizza}}{\text{4 pessoa}} = \frac{1}{4},$$ ou seja, cada pessoa vai ficar com um quarto de pizza(região amarela).

Tipos de frações

Frações equivalentes

São aquelas que têm numeradores e denominadores diferentes (numerais diferentes) mas representam a mesma quantidade (mesmo número).

Podemos escrever infinitas frações equivalentes a uma mesma fração. Basta multiplicar pelo mesmo número inteiro o numerador e o denominador da fração inicial.

Também é possível obter frações equivalentes dividindo. Porém, o numerador e o denominador têm que ser divisíveis pelo mesmo número. Fazendo isto até obter os menores números possíveis, dizemos que encontramos uma fração Irredutível. A este processo chamamos Simplificação de frações.

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Suponha que você tem duas pizzas para dividir com mais 3 amigos (ou seja, uma pizza para dividir para 4 pessoas). Esta operação pode ser representada com a fração: $$ \frac{\text{1 pizza}}{\text{4 pessoas}} = \frac{1}{4},$$ Agora suponha que ao invés de dividir a pizza em 4 partes iguais, ela seja dividida em 8 partes. Cada pessoa, dentre os 4 amigos, vai ficar com dois oitavos de pizza (regiões amarela). Mas claramente, isto corresponde à dois oitavos de pizza para cada. pessoa. Logo, temos que \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}.\)

Frações equivalentes são frações que representam a mesma quantidade. Se quisermos encontrar frações equivalentes para uma fração basta multiplicarmos o numerador e denominador pelo mesmo número inteiro diferente de zero e um.

Como encontrar frações equivalentes

Exemplos 1: encontrar frações equivalentes para \( \frac{2}{5},\) basta multiplicar por \(2,3,4,\) desta maneira:

  • \(\frac{2\times2}{5\times2} = \frac{4}{10},\)
  • \(\frac{2\times3}{5\times3} = \frac{6}{15},\)
  • \(\frac{2\times4}{5\times4} = \frac{8}{20}.\)
Assim, todas estas frações são equivalentes.

Verificar se duas frações são equivalentes

Para verificar se \(\frac{2}{5}\) é equivalente a \(\frac{6}{15}\), por exemplo, basta multiplicar as duas invertendo o numerador com o denominador da segunda: $$\frac{2}{5} \times \frac{15}{6}.$$ Realizando a multiplicação, temos $$\frac{2 \times 15}{5 \times 6} = \frac{30}{30},$$ onde o numerador é igual ao denominador. Isto só ocorre quando as duas frações são equivalentes. Logo, verificamos que de fato as duas frações são equivalentes.

Frações Próprias

São frações onde o numerador é menor que o denominador, representam números menores que a unidade. Exemplos: \(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}.\)

Frações Impróprias

São frações onde o numerador é maior que o denominador, representam números maiores que a unidade.Exemplos: \(\frac{3}{2}, \frac{7}{5},\frac{100}{99}.\)

Frações Aparentes

São frações equivalentes de números inteiros. Os números inteiros podem ser representados em forma de uma fração onde o numerador é múltiplo do denominador. Por exemplo:

  • \( \frac{9}{3} = 3,\)
  • \(\frac{8}{4} = 2,\)
  • \(\frac{10}{5} = 2.\)
Note que ao multiplicarmos o denominador por um número inteiro encontramos o numerador.

Números Mistos

São números onde uma parte é um número inteiro e a outra parte é uma fração

Exemplo 2:

$$2 \frac{2}{3}$$ é equivalente a $$\frac{8}{3}$$

$$4 \frac{1}{5}$$ é equivalente a $$\frac{21}{5}$$

Conversão de Frações Impróprias em Números Mistos e Vice-versa.

Para transformar uma fração imprópria em um número misto, basta dividir a fração pelo denominador, sendo que a parte inteira será o quociente, o resto será o numerador e o divisor será o denominador.

 

Exemplo 3:

Considere a fração imprópria $$\frac{21}{5}$$

Dessa forma, o quociente 4 vira a parte inteira, o resto 1, o numerador e o divisor 5 será o denominador. Assim, temos o número misto $$4 \frac{1}{5}$$ equivalente a $$\frac{21}{5}$$.

Para fazer o processo inverso, isto é, transformar o númerro misto em uma imprópria. Basta conservar o denominador, depois multiplicá-lo pela parte inteira e somar com o numerador para obter o novo denominador.

 

Exemplo 4:

Considere o número misto do exemplo anterior $$4 \frac{1}{5}$$  vamos transformá-lo de volta para $$\frac{21}{5}$$ Neste exemplo, conservamos o denominador 5, multiplicamos o denominador 5 por 4 e somamos com o numerador 1. Veja:

$$4 \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{5\times 4 + 1}{5} \Rightarrow \frac{21}{5}$$

Frações Unitárias e Inverso de um número Inteiro

Frações onde o numerador é 1 e o denominador é qualquer valor inteiro maior que zero, correspondem ao conceito matemático de Inverso de um número Inteiro.
Exemplo 5: $$\frac{1}{5}e \frac{1}{100}$$

São inversos dos números 5 e 100.

Inverso de uma Fração

Basta trocar o numrerador pelo denominador.
Exemplo 6:$$\frac{3}{5}$$ sua inversa :
$$\frac{5}{3}$$

Frações Decimais

São frações onde o denominador é uma potência positiva de 10 e estas frações podem ser representadas também na forma decimal.

Exemplos 7:
$$\frac{1}{10} = 0,1;$$

$$\frac{2}{100} = \frac{2}{10^2}= 0,02;$$

$$\frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 0,001$$

Simplificação de Frações e Frações Irredutíveis

Quando temos uma fração com valores altos no numerador e denominador podemos simplificá-la encontrando uma fração equivalente com os menores valores no numerador e no denominador, isto é, uma fração irredutível.

 

A fração irredutível ajuda muito na simplificação dos cálculos, de forma obter solução mais rápida da expressão que representa o problema.

 

Exemplo 8:
Considere $$\frac{20}{100}$$

Podemos simplificá-la dividindo o numerador e denominador pelo mesmo valor, quantas vezes houver divisor comum:

$$\frac{20 \div 2}{100 \div 2} = \frac{10 \div 2}{50 \div 2} = \frac{5 \div 5}{25 \div 5} = \frac{1}{5}$$

 

Dessa forma, $$\frac{1}{5}$$ é uma fração equivalente e simplificada de $$\frac{20}{100}$$ também chamada de fração irredutível significando que não é mais possível reduzi-la.

Também pode ser rapidamente simplificada calculando o MDC entre o numerador e o denominador e dividindo ambos por este MDC $$\frac{20\div 20}{100\div 20} = \frac{1}{5}$$

Comparação de frações

Comparar frações é uma forma de verificar qual fração representa a maior quantidade. Existem duas formas de comparar frações:

1) Se os denominadores forem iguais basta analisar os numeradores.

Exemplo 9:
$$\frac{3}{5} e \frac{1}{5}$$ como 3 é maior que 1, assim $$\frac{3}{5} \gt \frac{1}{5}$$

 

2) Se os denominadores forem diferentes, vamos utilizar um recurso básico que faz com que as frações fiquem com denominadores iguais e depois podemos utilizar o primeiro critério.

Exemplo 10:
Considere $$\frac{5}{2} e \frac{7}{3}$$ estas frações têm denominadores diferentes e não podemos utilizar o primeiro critério.

 

Para transformar em frações com denominadores iguais, pegamos o denominador de uma fração e multiplicamos o numerador e o denominador da outra outra.Veja:

$$\frac{5}{2}$$ tem denominador 2, vamos multiplicar o numerador e o denominador de $$\frac{7}{3}$$ por 2 $$\frac{7}{3}$$ tem denominador 3, vamos multiplicar o numerador e o denominador de $$\frac{5}{2}$$ por

$$\frac{5 \times 3}{2 \times 3} = \frac{15}{6} e \frac{7 \times 2}{3 \times 2} = \frac{14}{6}$$

 

Dessa forma, teremos duas frações com denominadores iguais e podemos utilizar o primeiro caso. Então, podemos ver que $$\frac{15}{6} \gt \frac{14}{6}$$

Portanto, $$\frac{5}{2} \gt \frac{7}{3}$$

 

Operações com Frações

Soma

Há 2 casos a considerar:

1 - Denominadores iguais

É bem simples: O numerador da fração resposta será a soma dos numeradores e o denominador será o mesmo das frações que quisermos somar.

$$\frac{2}{9}+\frac{5}{9}=\frac{7}{9}$$

2 - Denominadores diferentes.

Não é possível somar diretamente, temos que fazer nova soma com frações equivalentes de mesmo denominador.

Para encontrar as frações equivalentes mais simples, calculamos o MMC dos denominadores, dividimos este MMC pelos mesmos denominadores e encontramos os números que multiplicaremos os numeradores e os denominadores para encontrar as novas frações que somaremos.Exemplo:

$$\frac{2}{6}+\frac{5}{8}$$= ?

O MMC entre 6 e 8 é 24.

Dividindo 24 por 6 e 8 temos respectivamene 4 e 3, que vão gerar as seguintes frações equivalentes:$$\frac{2\times4}{6\times4}=\frac{8}{24}$$ e $$\frac{5\times3}{8\times3}=\frac{15}{24}$$

Temos então: $$\frac{2}{6}+\frac{5}{8}=\frac{8}{24}+\frac{15}{24}=\frac{23}{24}$$

Outro formato:$$\frac{2}{6/4}+\frac{5}{8/3}=\frac{ }{24}+\frac{ }{24}=\frac{ }{24}$$

MMC (6 e 8)

6 , 8 I 2

3 , 4 I 2

3 , 2 I 2

3 , 1 I 3

1 , 1 I /24

24 : 6 = 4

24 : 8 = 3

Finalmentee multiplicamos o resultado da divisão pelos respectivos numeradores e encontramos os numeradores das frações equivalentes que poderemos somar ¨diretamente¨.

4 x 2 = 8

3 x 5 = 15

Assim:$$\frac{2}{6}+\frac{5}{8}=\frac{8}{24}+\frac{15}{24}=\frac{23}{24}$$

Diferença

Utiliza os mesmos mecanismos da soma, só que, ao invés de somar, diminui os numeradores.

Multiplicação

É fácil demais. Para encontrar o numerador da fração resposta, basta miltiplicar os numeradores; e para encontrar o denominador da resposta, basta multiplicar os denominadores.

Exemplo 11:$$\frac{5}{7}\times\frac{3}{4} =\frac{15}{28}$$

Divisão

Divisão de fração da forma clássica é complicado mas existe outro método que torna a divisão de frações uma operação muito simples.

O melhor método utiliza a operação multiplicação de fração. Para realizar a operação, basta saber a seguinte regra básica e a divisão não será mais problema.

REGRA:Copia, ou repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda.

Exemplo 12:$$\frac{3}{5}\div\frac{7}{3}=\frac{3}{5}\times\frac{3}{7}= \frac{9}{35}$$

Outra forma:

$$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{7}{3}} = \frac{3}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{3 \times 3}{5 \times 7} = \frac{9}{35}$$

Em outras palavras:

Dividir uma fração por uma outra fração, equivale a multiplicar esta fração pelo inverso da outra.

Observação: Simplificar as respostas, sempre que possível, porque o resultado deve sempre ser dado na forma de uma fração irredutível.

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