Dízimas Periódicas

São números que pertencem ao conjunto Q. Como Q é o conjunto de todas as frações, podemos concluir que toda dízima periódica é um número racional. de outra foto, toda dízima periódica pode ser escrita na forma de uma fração. Mas nem toda a fração pode ser escrita na forma de uma dízima periódica.

A característica mais importantes neste numeral, ou seja, desta forma de escrever um número racional, é a parte decimal infinita e com algarismos que se repetem com regularidade infinita.

O algarismo que se repete na parte decimal ou grupo de algarismos que se repete se chama período
Exemplo 1:

• 0,323232… período = 32
• 125,789999… período = 9

Para termos uma ideia da quantidade representada por uma dízima periódica, podemos escrever-la na forma de uma fração que se chama a Fração Geratriz. Para isto há duas técnicas: uma mais formal e uma mais prática. A técnica mais prática é mais rapida e depende de alguma memorização. Por ser mais prática começaremos por ela.

Forma prática de escrever uma fração geratriz

Inicialmente constrói-se uma fração seguindo as regras abaixo e depois, se possível, simplifica esta fração.

1. Pela prática, é possível saber que cada algarismo que se repete na parte periódica corresponde a um algarismo nove no denominador. E o algarismo do período e os da parte que não são periodo aparecem no numerador.

   Assim já temos uma forma de escrever as frações de dizimas mais simples: exemplos 2: $$0,666….=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$ $$0,72727272….=\frac{72}{99}=\frac{24}{33}=\frac{8}{11}$$ $$ 0,125125125125… = \frac{125}{999} $$

2. Se a parte inteira for composta dos mesmos algarismos do período, ela deverá ser tratada como se fosse também diferente.

   O procedimento consiste em escrever um número composto pela parte periódica e um período diminuído de um número composto pela parte não periódica no numerador e continuar escrever no dominador os algarismos noves tanto quanto forem os algarismos do período. Exemplos 3: $$ 7,333…= \frac{73-7}{9}=\frac{66}{9}=\frac{22}{3} $$ $$ 3,1818…= \frac{318-3}{99}=\frac{315}{99}=\frac{35}{11} $$ $$ 15,3636…= \frac{1536-15}{99}=\frac{1521}{99}= \\ =\frac{507}{33}=\frac{169}{11} $$

3. Se a dízima periódica tem uma parte não periódica no início da parte decimal, neste caso cada algarismo que não pertence a parte periódica terá 0 ao lado do noves no denominador. Exemplo 4: $$ 0,0444… = \frac{4}{90} = \frac{2}{45} $$ $$ 31,2444… = \frac{3124-312}{90} = \\ = \frac{2812}{90}=\frac{1406}{45} $$

   Observação: para resolver expressões numéricas que contenham dízimas periódicas, devemos sempre escrever a dízima em forma de fração. Em alguns casos podemos substituir a dízima por um número decimal que corresponde a um valor aproximado do verdadeiro número.

Método formal de escrever uma dízima periódica em forma de fração

Este método utiliza duas ideias:

• Podemos diminuir dízimas periódicas de mesmo período e obter um número decimal ou um número inteiro.
• A ideia de que podemos multiplicar uma dízima periódica por 10, 100, 100, ..., e termos uma dízima periódica com o mesmo período e com diferença de um, dois, três ou mais casas decimais.

Regras:

1. Dizimas periódicas que só têm os algarismos do período: se tiver só um algarismo multiplicar por 10, se tiver dois algarismos multiplicamos por 100.

   Em seguida diminuímos a dízima periódica original do resultado da multiplicação e construímos uma proporção; onde a dízima periódica original fazemos corresponder a variável x e ao resultado da subtração o múltiplo de 10 multiplicadodo por x .

   Exemplo 5: Escrever a fração geratriz de \(0,33333...\).

   1. multiplicamos por 10 pois o período só tem 1 algarismo. $$0,3333… \times 10 = 3,333...$$
   2. Diminuímos o resultado da original $$ 3, 3333… - 0,3333… = 3, $$ que será um número inteiro.
   3. construímos a proporção $$ \frac{0,3333...}{3,0000...}=\frac{x}{10x-x}.$$ Que simplificando fica $$ \frac{0,3333...}{3,0000...}=\frac{x}{9x}. $$ E finalmente, temos que $$0,3333… = \frac{3}{9}.$$

2. A dízima periódica tem uma parte não periódica que se estende pela parte decimal.

   Se a parte não periódica tiver só 1 algarismo na parte decimal multiplicamos por 10, se tiver dois algarismos por 100 e assim por diante.

   Em seguida observamos o número de algarismos do período. Se tiver um algarismo, multiplicamos o resultado por \(10\), se tiver \(2\) algarismos multicamos por 100, e assim por diante.

   Depois diminuímos o resultado da primeira multiplicação do resultado a segunda multiplicação e construímos a seguinte proporção:

   À dízima original fazemos corresponder a \(x\) e à diferença entre as dízimas fazemos corresponder a diferença dos múltiplos de \(10\) multiplicada por x.

Exemplos 6:

1. Escrever a fração geratriz de \(2,45666...\)
   Como há dois algarismo depois da vírgula antes da parte periódica, multiplicamos a dízima por 100. $$ 2,45666… \times 100 = 245,666... $$ $$ 245,666… \times 10 = 2456,666... $$ $$ 2456,666... - 245,666... \\ = 2211,000...$$ $$ \frac{2,45666...}{2211,000..} = \frac{x}{1000x-100x} $$ $$\require{cancel} \frac{2,45666...}{2211,000..} = \frac{\cancel{x}}{900\cancel{x}} $$ $$ 2,45666... = \frac{2211}{900}=\frac{737}{300} $$
2. Escrever a fração geratriz de \(32,4255255...\)
   Como há 1 algarismo depois da vírgula antes da parte periódica, multiplicamos a dízima por 10. $$ 32,4255255... \times 10 = 324,255255... $$ Como o período tem 3 algarismos, multiplicamos o resultado acima por 1000. $$ 324, 255255... \times 1000 = 324.255,255... $$ Subtraindo as duas, temos: $$ 324.255,255... - 324, 255255... = \\ = 323.931,000...$$ $$ \frac{32,4 255255...}{323.931,000...} = \frac{x}{10000x-10x} .$$ $$\require{cancel} \frac{32,4 255255...}{323.931,000...} = \frac{\cancel{x}}{9990\cancel{x}} $$ $$ 32,4 255255... = \frac{323.931}{9990}=\frac{107977}{3330} $$