Nesta seção estudaremos as principais relações entre os números naturais.
O que interessa aqui é saber corretamente o que é Conjunto dos Múltiplos.
Importante: O conjunto dos múltiplos começa sempre pelo zero e é infinito.
Exemplo 1: \(M(7) = \{ 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, ... \}\)
Importante: O conjunto dos divisores começa sempre pelo 1 e termina sempre pelo próprio número.Logo trata-se de um conjunto finito.
Exemplo 2: \(D(12) = \{ 1, 2, 3, 4, 6, 12 \}\)
Dizemos que um número é divisível por outro quando a divisão dá resto zero. É o que chamamos divisão exata.
Usando os seguintes critérios poderemos afirmar se um número é divisível sem fazer a divisão.
Basta verificar se o número é par. Os números pares são aqueles que terminam com os algarismos: 0, 2, 4, 6 e 8.
Basta somar todos os algarismos do número. Se a soma encontrada for divisível por 3, então o número dado será divisível por 3.
Exemplo 3: Verificar se o número 683 é divisível por 3.
Somamos: \(6+8+3=17\), dividimos: \(17 \div 3\) , não dá divisão exata, então podemos dizer que 683 não é divisível por 3.
Basta verificar se o número termina em zero ou 5,
São semelhantes às anteriores.
É mais rápido dividir o número e ver se dá, ou não, resto zero.
Trata-se de um dos conjuntos mais importantes da matemática.
O que são números primos?
São números que só têm 2 divisores: O 1 e ele mesmo.
Importante:
Muito importante: O aluno deverá ter em memória, pelo menos, os 10 primeiros números primos. \( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29\)
Dividir o número pelos primeiros números primos até que o resultado da divisão fique menor que o número primo que você estiver usando.
Se durante o processo você encontrar resto zero,você poderá parar de dividir e dizer que o número não é primo.
Fatorar um número é escrever este número na forma de um produto de números primos.
O teorema fundamental da aritmética afirma que qualquer número inteiro maior que 1 pode ser escrito na forma de produto de números primos.
Exemplo 4:
\(6=2 \times 3 \)
\( 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \)
\( 36 = 2^2 \times 3^2\)
Existe um conjunto de números que são múltiplos de 2 ou mais números ao mesmo tempo.
O mmc é o menor número deste conjunto diferente de zero.
Exemplo 5: mmc (3,4,6 )
\( M(3) = \{\ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...\}\)
\( M(4) = \{\ 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...\}\)
\( M(6) = \{\ 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...\}\)
\( M ( 3,4,6) = \{\ 0, 12, 24, 36, ...\}\)
\( mmc (3,4,6) = 12\)
Os fatores primos que se repetem serão escritos só uma vez na resposta mas com o maior de todos os expoentes.
Os fatores que não se repetem também serão todos escritos e multiplicados na mesma resposta.
Exemplo 6:
\( 40 = 2^3 \times 5 \)\( 48 = 2^4 \times 3^2 \)
\( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
\( mmc (40, 48, 60) = 2^4 \times 3^2 \times 5 = 720 \)
Exemplo 7:
mmc( 4, 6, 9 )
4, 6, 9 | 2
2, 3, 9 | 2
1, 3, 9 | 3
1, 1, 3 | 3
1, 1, 1 |
\(mmc = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36\)
Existe um conjunto de números que são divisores de dois ou mais números ao mesmo tempo.
O mdc é o maior número deste conjunto.
Exemplo 8: mdc ( 18, 24, 30 )
\( D( 18 ) = \{\ 1, 2, 3, 6, 9, 18 \}\)
\( D (24 ) = \{\ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \}\)
\( D (30 ) = \{\ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \}\)
\( D ( 18, 24, 30) = \{\ 1, 2, 3, 6 \}\)
\( mdc ( 18, 24, 30 ) = 6\)
Exemplo 9
(Aprendiz de Marinheiro - 2016) Seja A = 120, B = 160, x = mmc(A,B) e y = mdc(A,B), então o valor de x + y é igual a:
a) 460 b) 480 c) 500 d) 520 e) 540
Solução. Para encontrar o valor da soma de x com y, é necessário primeiro encontrar esses valores. Decompondo os números em fatores primos, temos: $$120=2^3\cdot3\cdot5$$ $$160=2^5\cdot5$$ Calculando o mmc e o mdc entre os números dados. MMC, fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes. $$mmmc(120, 160)=2^5\cdot3\cdot5=480$$ MDC, só fatores comuns com os menores expoentes. $$mdc(120; 160)=2^5\cdot5$$ Agora que já conhecemos o valor de x (mmc) e de y (mdc), podemos encontrar a soma: $$x + y = 480 + 40 = 520$$ Resposta: d) 520
Exemplo 10
(Enem - 2015) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m. Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir
a) 105 peças. b) 120 peças. c) 210 peças. d) 243 peças. e) 420 peças.
Solução. Como é pedido que as peças tenham o mesmo comprimento e o maior tamanho possível, vamos calcular o mdc (máximo divisor comum). Vamos calcular o mdc entre 540, 810 e 1080: $$540=2^2\cdot3^3\cdot5$$ $$810=2\cdot3^4\cdot5$$ $$1080=2^3\cdot3^3\cdot5$$ $$mdc(540; 810; 1080)=2\cdot3^3\cdot5=270 cm$$ Entretanto, o valor encontrado não poderá ser usado, pois existe a restrição do comprimento ser menor que 2 m ou 200 cm. Assim, vamos dividir 270 cm por 2, pois o valor encontrado também será um divisor comum de 540, 810 e 1080, visto que o 2 é o menor fator primo em comum desses números. Então, o comprimento de cada peça será igual a 135 cm (270 : 2). Agora, precisamos calcular quantas peças teremos de cada tábua. Para isso, faremos: $$\frac{540}{135} = 4 peças$$ $$\frac{810}{135} = 6 peças$$ $$\frac{1080}{135} = 8 peças$$ Considerando a quantidade de cada tábua e somando, temos: $$40.4 + 30.6 + 10.8 =160+180+80=420 peças$$ Resposta: e) 420 peças