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Conjuntos Numéricos

Toda a Matemática atual é formulada na linguagem de conjuntos. Portanto, a noção de conjunto é a mais fundamental: a partir dela, todos os conceitos matemáticos podem ser expressos.

Figura. "Reta Real"
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Enquanto os conjuntos constituem um meio auxiliar, os números são um dos dois principais objetos de que se ocupa a Matemática. O outro é o espaço, junto com as figuras geométricas nele contidas.

Números são entes abstratos, desenvolvidos pelo homem como modelos que permitem contar e medir, portanto avaliar as diferentes quantidades de grandeza.

"Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e a unidade. Se a grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultado é um inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se uma medição e o resultado é um número real."

Número e Numeral

A idéia primordial, isto é, primeia ideia e a principal é o número.

No número temos a ideia de quantidade. Usamos esta ideia para contar e avaliar a extensão dos objetos.

O número em si é abstrato, o que o faz visível e o numeral.

Numeral é a representação de um número e um número pode ter diferentes numerais.

Observa-se que muitas vezes a a palavra número é usada no lugar da palavra numeral. Isto é aceito quando não prejudica a compreensão do texto mas é também por isto que o conceito de numeral chega ficar esquecido por alguns.

Conjuntos Numéricos

Podemos afirmar que os números são elementos matemáticos que podem ser agrupados por tipo ou espécie. Nos números, o que caracteriza a espécie é a complexidade e esta, por sua vez, pode ser dimensionada pelas propriedades destes números.A espécie mais simples forma o Conjunto dos Números Naturais e a mais complexa forma o Conjunto dos Números Complexos

Obsevamos que o conjunto da espécie mais simples está contido no conjunto da espécie mais complexa com uma exceção: o Conjunto dos Números Racionais não está contido no Conjunto dos Números Irracionais, por isto eles são chamados disjuntos.Ambos estão contidos no Conjunto dos Números Reais.

Principais Conjuntos Numéricos

São elementos matemáticos extensos que podem ser representados por um único símbolo e por isto permitem que a matemática se apresente como uma linguagem mais simples.

Conjunto dos Números Naturais

É o conjunto dos números usados para contar objetos.

É um conjunto histórico porque foi o primeiro a ser idealizado pelo homem. Com o surgimento das grandes civilizações, cada uma criou numerais para escrever os números deste conjunto.

Atualmente, em todo o planeta, usamos o Numerais Indo-arábicos, mas para a finalidade deste trabalho, também estudaremos, noutra seção, os Numerais Romanos.

Podemos representar o Conjunto dos Números Naturais da seguinte forma: $$\mathbb{N}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 10,11,12,...\}.$$

Quando queremos retirar o numeral zero, o conjunto terá a letra \(\mathbb{N}\) acrescida de um asterístico à sua direita e acima: $$\mathbb{N^*}= \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...\}.$$

Conjunto dos Números Inteiros

Este conjunto surgiu quando o ser humano criou conceito de Número Negativo. A partir da percepção de que se poderia criar números menores que o zero, o homem passou a escrever, por exemplo, números correspondentes à dívidas com sinal negativo. Este conceito também foi se fortalecendo com a idéia de que o conjunto dos números quando fornece a percepção de quanto cresce uma quantidade, necessita também que se diga pra que sentido é este crescimento. Então para a direita do zero teremos os denominados Números Positivos e para a esquerda teremos os Números Negativos. Daí surge o conceito de Módulo, que é, abreviadamente, número sem sinal.

Z = { ...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,... }

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\( \mathbb{N}\)
\( \mathbb{Z}\)

Conjunto dos Números Racionais

Vulgarmente, podemos afirmar que é o conjunto das frações. Isto se justifica pelo fato de que uma das formas de definir este conjunto utiliza o conceito de fração.

É o conjunto dos números usados para contar partes de um objeto (frações próprias) e também vários objetos juntamente com algumas partes ( números mistos ou frações impróprias).

Os números racionais podem ser representados pelos seguintes numerais:

Números inteiros, números decimais, números mistos, frações e dízimas periodicas.

Podemos representar o conjunto dos números racionais da seguinte forma:

$$\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}, a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z} \text{ e } b \ne 0 \} $$

Isto siginfica dizer que: Números Racionais são todos aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração.

Temos então:

1- Todo número inteiro pode ser escrito na forma de uma fração - são as frações chamadas aparentes.

2- Todo número misto também - são as frações chamadas impróprias.

3- Todos os números decimais e todas as dízimas periódicas podem ser escritos como frações que podem ser próprias ou impróprias.

Números Irracionais

De forma bem simples, são aqueles números que não podem ser escritos na forma de fração. Para escrever estes números, com os 10 algarismos que dispomos, teríamos um número com uma parte decimal composta por infinitos algarismos sucedendo-se sem período, ou seja, uma dízima não periódica.

Por conveniência, havendo necessidade, escrevemos estes números com aproximações. Estas por sua vez nos permitem ter a ideia da ordem de grandeza do número. Isto equivale: poder avaliar quão grande é o número.

Uma grande parte dos Números Irracionais é composta por raízes inexatas, com exceção das raízes de índice par de números negativos

Exemplo 1

$$\surd2$$=1,41421356...

Alguns Números Irracionais são representtados por letras e outros por expressões.

Exemplo 2

$$\pi$$ = 3,14159265...

e = 2,718280469...

Números Reais

É o conjunto dos números que podem ser representados por um ponto na reta. Os elementos deste conjunto são resultado da união do Conjunto dos Números Racionais com o Conjunto dos Números Irracionais.

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\( \mathbb{N}\)
\( \mathbb{Z}\)
\( \mathbb{Q}\)
\( \mathbb{I}\)
\( \mathbb{C}\)

Na figura acima, o conjunto dos reais seria representado pela união da região verde e amarelo, \(\mathbb{R=Q \cup I}.\)

Números Complexos

É o último dos conjuntos numéricos importantes. O elemento diferente que caracteriza este conjunto é a raiz quadrada do número negativo -1, chamado unidade imaginária, representado pela letra i.

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\( \mathbb{N}\)
\( \mathbb{Z}\)
\( \mathbb{R}\)
\( \mathbb{C}\)

Outros Conjuntos Numéricos Importantes.

Conjunto dos Múltiplos

Cada número inteiro tem um conjunto de múltiplos.

Este conjunto começa sempre pelo zero e possiu infinitos números.

Exemplo 3:

M(2) = { 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,...}

Conjunto dos Divisores

Cada número inteiro possui um conjunto de divisores.

Este conjunto começa sempre pelo 1 e termina com o próprio número.

Exemplo 4:

D(12) = { 1,2,3,4,6,12 }.

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