Sistemas de equações do 1° grau a duas variáveis

Introdução
Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1º grau a duas variáveis. Nesse caso, diz-se que as equações formam um sistema de equações do 1º grau a duas variáveis, que indicamos escrevendo as equações abrigadas por uma chave.

O par ordenado que verifica ao mesmo tempo as duas equações é chamado solução do sistema. Indicamos pela letra S, de solução.
Por exemplo, o par (4,3) é solução do sistema: $$\left\{\begin{array}{ll} 2x+3y=17\\x-z=1 \end{array}\right.$$ Pois verifica as duas equações. Ou melhor: Resolução de sistemas de equações do 1° grau (2 x 2).

Métodos de resolução:
a) o método da substituição, b) método da comparação, c) método da adição.

Método da substituição

Para aprender a trabalhar com esse método, você deve acompanhar os passos indicados nos exemplos a seguir:

Exemplo 1
Resolver o sistema. $$\left\{\begin{array}{ll}x+3y=13\\x-y=1 \end{array}\right.$$
1º passo: Isola-se uma das variáveis em uma das equações. Vamos isolar x na 1ª equação:$$ x= 13-3y$$ 2º passo: Substitui-se a expressão encontrada no passo 1 na outra equação. Obtemos então uma equação do 1º com apenas uma incógnita. $$ (13-3y)-y=1$$ 3º passo: Resolvemos a equação obtida no 2º passo: obtendo, assim, o valor de y. $$ (13-3y)-y=1 \Rightarrow 13-4y=1$$ $$ 12=4y \Rightarrow y=3 $$ 4º passo: (Para encontrarmos o valor de x) Substitui-se o valor encontrado no 3º passo em qualquer uma das equação iniciais. Vamos substituir na 1° equação. $$ x+3y=13 \Rightarrow x+3(3)=13 $$ $$ \Rightarrow x+3(3)=13 \Rightarrow x=4$$ 5º passo: Por último, escrevemos a solução do sistema: S = {(4,3)}.

Método da comparação

Este método consiste, basicamente, em isolar a mesma variável nas duas equações.

Exemplo 2
Resolver o sistema $$\left\{\begin{array}{ll}x+3y=13\\x-y=1 \end{array}\right.$$ 1° passo: Isolando x na 1ª equação, temos:$$x=13-3y$$ 2º passo: Isolando x na 2ª equação, temos:$$x=1+y$$ 3º passo: Comparando 1 e 2, vem:$$13-3y=1+y \Rightarrow$$$$12=4y \Rightarrow y=3$$ 4º passo: Como y=3 podemos usar a 1ª equação para obter o valor de x: $$x=13-3y=13-3(3)=13-9$$$$x=4$$ Conjunto-Solução: S = {(4,3)}

Método da Adição

Adicionando ou subtraindo membro a membro duas igualdades, obtemos uma nova igualdade. O método consiste em somar as duas equações, mas isso deve ser feito sempre de modo a eliminar uma das variáveis na nova equação obtida. Ou seja, é preciso chegar a uma só equação, com uma só incógnita. Para que isso ocorra, é necessário existam termos opostos nas duas equações (em relação a uma mesma letra...).

Exemplo 3.
Considere o sistema:$$\left\{\begin{array}{ll}x+3y=2\\x-3y=4 \end{array}\right.$$ Solução.
Observe que a equação 1 tem o termo 3y, e a equação 2 tem o termo -3y (oposto de 3y). Esse fato nos permite obter uma só equação sem a incógnita y, somando as duas equações membro a membro, temos: $$x+x=2+4 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow$$ $$x=3$$ Agora, é só substituir o valor de x=3 em uma das equações do sistema, substituindo na 1ª equação, temos: $$3+3y=2 \Rightarrow 3y=2-3 \Rightarrow$$ $$3y=-1 \Rightarrow y=-\frac{1}{3} $$ A única solução do sistema é o par $$(3,-\frac{1}{3})$$

Exemplo 4
Vamos resolver o sistema. $$\left\{\begin{array}{ll}2x+3y=28\\5x+4y=49 \end{array}\right.$$ Solução.
Aqui, seria inútil somar imediatamente as equações. Como não observamos termos opostos (que somados resulta 0), nenhuma letra desaparece. Mas, podemos obter termos opostos. Veja que o MMC entre 3 e 4 (coeficientes de y nas duas equações) é 12. Daí, multiplicamos a 1ª equação por 4 e a 2ª equação por -3: Você viu bem?!!! Com isso, conseguimos termos opostos neste último sistema. $$\left\{\begin{array}{ll}(2x+3y=28).4\\(5x+4y=49)(-3) \end{array}\right. \Rightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{ll}8x+12y=112\\-15x-12y=-147 \end{array}\right. \Rightarrow$$ E como +12y –12y = 0, temos: $$-7x=112-147 \Rightarrow $$ $$(-7x=-35)(-1) \Rightarrow $$ $$7x=35 \Rightarrow $$ $$x=\frac{35}{7}=5$$ Agora, levamos x=5 na 2ª equação para encontrar o valor de y: $$5(5)+4y=49 \Rightarrow 25+4y=49 \Rightarrow$$ $$4y=24 \Rightarrow y=6 $$ A solução é o par (5,6).