Equação do 2° Grau

Uma equação do 2° grau é uma equação que tem duas incógnita x, sendo que uma delas possuem um grau igual a 2.

Exemplo 1
2x² + 5x + 3 = 0 (essa é uma equação do segundo grau, veja o grau 2 na primeira incógnita).

Toda equação do 2° grau tem a seguinte forma:

ax² + bx + c = 0, onde a, b, c ∈ R e com a ≠ 0.

Chamamos a, b e c de coeficientes, a é sempre coeficiente de x², b é sempre coeficiente de x e c é sempre coeficiente do termo independente.

Exemplo 2

a) 3x² + 4x + 1 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 3, b = 4, c = 1.

b) x² – x – 1 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 1, b = -1, c = -1.

c) 9x² – 5x = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 9, b = -5, c = 0.

d) 5x² -4 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 5, b = 0, c = -4.

Equação do 2° grau completa e incompleta

Uma equação do 2° é chamada completa quando os coeficientes b e c  são diferentes de zero.

Exemplo 3

2x² + 3x + 3 = 0

x² + x + 1 = 0

São equações completas.

Uma equação do 2° grau é chamada incompleta quando os coeficientes b ou c é igual a zero, basta um deles ser igual a zero, ou ambos serem iguais a zero.

Exemplo 4
Equações incompletas.
x² – 3 = 0  (b = 0)
2x² + x = 0 (c = 0)
5x² = 0 (b = 0 e c = 0)

Raízes de uma equação do 2° grau

Para resolvermos uma equação do 2° grau é necessário que encontremos as raízes da equação. As raízes são valores que quando substituímos nas incógnitas torna a sentença verdadeira. Assim, as raízes da equação forma o conjunto solução ou o conjunto verdade da equação.

Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é o método mais fácil para encontrarmos as raízes da equação.

$$x =  \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

Exercício resolvido de uma equação do 2° grau

Encontre a solução para a seguinte equação: x² – 5x + 6 = 0

Resposta:

Primeiro vamos encontrar os coeficientes da equação, isto é, os valores de a, b e c.

a = 1

b = -5

c = 6

Agora, vamos aplicar a fórmula de Bhaskara, substituindo os valores correspondentes aos coeficientes a, b e c, para encontramos as raízes da equação:

$$x = \frac{5 \pm \sqrt{-5^2 – 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1}$$ (-(-5)) = 5 e -5² = -5 x -5 = 25 (menos com menos é mais, estude potenciação)

 Vamos separar a equação, pois temos que analisar separados, ou seja, quando verificarmos para + chamaremos de x1 e quando verificarmos para – chamaremos de x2. Veja:

$$x1 = \frac{5 + \sqrt{-5^2 – 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1} \Rightarrow $$

$$x1 = \frac{5 + \sqrt{25 – 24}}{2} \Rightarrow $$

$$x1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} \Rightarrow $$

$$x1 = \frac{5 + 1}{2} \Rightarrow $$

$$x1 = \frac{6}{2} \Rightarrow $$

$$x1 =  3 $$

 

$$x2 = \frac{5 – \sqrt{-5^2 – 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1} \Rightarrow $$

$$x2 = \frac{5 – \sqrt{25 – 24}}{2} \Rightarrow $$

$$x2 = \frac{5 – \sqrt{1}}{2} \Rightarrow $$

$$x2 = \frac{5 – 1}{2} \Rightarrow $$

$$x2 = \frac{4}{2} \Rightarrow $$

$$x2 =  2$$

Então, agora encontramos as raízes da equação: x1 = 3 e x2 = 2

Estas são as raízes da equação, ou seja, o conjunto solução que resolve a equação. Que torna ela verdadeira.

S = {2, 3}

Veja:

Se substituirmos as raízes veremos que elas realmente resolvem a equação.

$$2^2 – 5 \times 2 + 6 = 0  \Rightarrow $$

$$4 – 10 + 6 = 0   \Rightarrow$$

$$0 = 0 (verdade)$$

$$3^2 – 5 \times 3 + 6 = 0  \Rightarrow $$

$$9 – 15 + 6 = 0   \Rightarrow $$

$$0 = 0 (verdade)$$

Exemplo 5
Resolva a equação do 2° grau: x² - 9x + 20 = 0
Solução.
Usando a fórmula de Bhaskara com os seguintes valores dos coeficientes: a=1; b=-9 e c=20 $$x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$ $$x= \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 – 4(1)(20)}}{2(1)}$$ $$x= \frac{9 \pm \sqrt{81 – 80}}{2}$$ $$x= \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2}$$ $$x= \frac{9 \pm 1}{2}$$ $$x_1= \frac{9 + 1}{2}=\frac{10}{2}=5$$ $$x_2= \frac{9 - 1}{2}=\frac{8}{2}=4$$

Exemplo 6
Resolva a equação do 2° grau:$$ x² - 2x - 15 = 0$$ Solução.
Usando a fórmula de Bhaskara com os seguintes valores dos coeficientes: a=1; b=-2 e c=-15 $$x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$ $$x= \frac{-(-2) \pm\sqrt{(-2)^2 – 4(1)(-15)}}{2(1)}$$ $$x= \frac{2 \pm \sqrt{4+60}}{2}$$ $$x=\frac{2 \pm \sqrt{64}}{2}$$ $$x= \frac{2 \pm 8}{2}$$ $$x_1= \frac{2 +8}{2}=\frac{10}{2}=5$$ $$x_2= \frac{2 - 8}{2}=\frac{-6}{2}=-3$$

Exemplo 7
Resolva a equação do 2° grau:$$ x² - 9 = 0$$ Solução.
Essa é uma equação incompleta, b=0. Usando a fórmula de Bhaskara com os seguintes valores dos coeficientes: a=1; b=0 e c=-9 $$x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$ $$x= \frac{0\pm\sqrt{(0)^2 – 4(1)(-9)}}{2(1)}$$ $$x= \frac{0 \pm \sqrt{0+36}}{2}$$ $$x=\frac{0 \pm \sqrt{36}}{2}$$ $$x= \frac{0 \pm 6}{2}$$ $$x_1= \frac{6}{2}=3$$ $$x_2= \frac{-6}{2}=-3$$ Outro solução. $$ x² - 9 = 0 \Rightarrow x² = 9 \Rightarrow $$ $$x² = 9 \Rightarrow x=\pm \sqrt{9}$$ $$x_1=3 \Rightarrow x_2=-3 $$

.

Exemplo 8
Resolva a equação do 2° grau:$$ x² - 5x = 0$$ Solução.
Essa é uma equação incompleta, c=0. Usando a fórmula de Bhaskara com os seguintes valores dos coeficientes: a=1; b=-5 e c=0 $$x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2– 4ac}}{2a}$$ $$x= \frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2 – 4(1)(0)}}{2(1)}$$ $$x= \frac{5 \pm\sqrt{25+0}}{2}$$ $$x=\frac{5 \pm \sqrt{25}}{2}$$ $$x= \frac{5 \pm 5}{2}$$ $$x_1= \frac{10}{2}=5$$ $$x_2= \frac{0}{2}=0$$ Outro solução. $$ x² - 5x = 0\Rightarrow x(x-5) = 0 \Rightarrow $$ $$x_1 = 5$$ $$x_2= 0$$

.

Exemplo 9
Resolva a equação do 2° grau:$$ 2x²-11x+5 = 0$$ Solução.
Usando a fórmula de Bhaskara com os seguintes valores dos coeficientes: a=2; b=-11 e c=5 $$x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$ $$x= \frac{-(-11)\pm\sqrt{(-11)^2 – 4(2)(5)}}{2(2)}$$ $$x= \frac{11 \pm \sqrt{121-40}}{4}$$ $$x=\frac{11 \pm \sqrt{81}}{4}$$ $$x= \frac{11 \pm 9}{4}$$ $$x_1= \frac{11+9}{4}=\frac{20}{4}=5$$ $$x_2= \frac{11 - 9}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Exemplo 10
Resolva a equação do 2° grau:$$ 3x²-5x+10 = 0$$ Solução.
Usando a fórmula de Bhaskara com os seguintes valores dos coeficientes: a=3;b=-5 e c=10 $$x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$ $$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2 – 4(3)(10)}}{2(3)}$$ $$x= \frac{5 \pm\sqrt{25-120}}{6}$$ $$x=\frac{5 \pm \sqrt{-95}}{6}$$ Resposta. Não existe raiz quadrada de número negativo, no campo dos números reais.