REGRA DE TRÊS SIMPLES

Regra de três simples é um processo prático utilizado para resolver problemas que envolvam duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. Essas grandezas formam uma proporção em que se conhece três termos e o quarto termo é procurado.

Grandezas diretamente proporcionais são aquelas grandezas que variam no mesmo sentido, ou dito de outra forma, duas grandezas são diretamente proporcionais se, ao aumentarmos os valores de uma delas, os valores correspondentes da outra aumentarem na mesma razão.

Exemplo 1. Número de pessoas e quantidade de alimentos necessária para alimentá-las

Exemplo 2. Quantidade de tecido e quantidade de tinta usada para tingi-lo.

Grandezas inversamente proporcionais são aquelas grandezas que variam em sentidos opostos, ou dito de outra forma, duas grandezas são inversamente proporcionais se, ao aumentarmos os valores de uma delas, os valores correspondentes da outra diminuem na mesma razão.

Exemplo 3. a) Número de operários e número de dias em que se faz um certo trabalho.
b) Número de torneiras que enchem um reservatório e tempo gasto para enchê-lo.

Exemplo 4. Comprei 6 canetas por R$ 13,50 . Quanto vai custar 10 canetas?
Solução. Se aumentamos o número de canetas o gasto para comprá-las também aumenta, isso é, são grandezas diretamente proporcionais, $$ \frac { 6}{10} = \frac {13,50}{x} \Rightarrow x = \frac {10 \times 13,50}{6}$$ $$ =22,50$$ Resposta. Por 10 canetas, pagaria R$ 22,50.

Exemplo 5. Se 8 máquinas gastam 6 dias de trabalho para fazer um aterro, quanto tempo gastariam 12 máquinas iguais àquelas, para realizarem o mesmo aterro ?
Solução. Se aumentamos o número de máquinas diminuimos o tempo para realizar o mesmo trabalho, isso é, são grandezas inversamente proporcionais. $$ \frac {8}{12} = \frac {x}{6} \Rightarrow x = \frac {8 \times 6}{12}$$ $$ =4$$ Resposta. 12 máquinas realizarão o aterro em 4 dias.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Regra de três composta é um processo prático utilizado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas proporcionais.
Obs.: Se uma grandeza é diretamente proporcional a várias outras, então os valores que exprimem sua medida são diretamente proporcionais aos produtos dos valores correspondentes das outras. No caso do problema envolver três ou mais grandezas, então é a da regra de três composta.

Exemplo 6. Em 6 dias, aprontar-se-iam 720 uniformes escolares, em 16 máquinas de costura. Em quantos dias poderiam ficar prontos 2.160 uniformes iguais, se foram utilizadas só 12 máquinas ?

Solução. 6 dias 720 uniformes 16 máquinas x 2.160 uniformes 12 máquinas.

dias	uniformes	máquinas
6	720	16
x	2160	12

Para estabelecer o sentido das setas, vamos tomar como base a grandeza "dias" e vamos compará-la com as outras duas, isso é, "uniformes" e "máquinas". Se aumentarmos o número de dias o número de uniformes também aumentam, considerando o número de máquinas constante. Portanto, dias e número de uniformes são grandezas diretamente proporcionais, tem setas no mesmo sentido. Se aumentarmos o número de dias o número de máquinas deve diminuir, para produzir o mesmo número de uniformes. Portanto, dias e máquinas são grandezas inversamente proporcionais, setas com sentidos contrários. Para isso, invertem-se os valores correspondentes da terceira grandeza: $$ \frac {6}{x} = \frac {720}{2160} \times \frac {12}{16} \Rightarrow $$ $$ x = \frac {6 \times 2160 \times 16}{720 \times 12} \Rightarrow$$ $$ =24$$ Resposta. Serão necessários 24 dias.

Exemplo 7. Para alimentar 15 cavalos, durante 11 dias, são necessários 2.200 kg de alfafa. Pedindo-se 8 cavalos, em quanto tempo serão consumidos 1.280 kg de alfafa?

Solução.

dias	cavalos	alfafa
11	15	2200
x	8	1280

Para estabelecer o sentido das setas, vamos tomar como base a grandeza "dias" e vamos compará-la com as outras duas, isso é, "cavalos" e "alfafa". Se aumentarmos o número de dias o número de cavalos que podem ser alimentados diminui, considerando o número de máquinas constante. Portanto, dias e número de cavalos são grandezas inversamente proporcionais, tem setas em sentidos contrários. Se aumentarmos o número de dias a quantidade de alfafa deve aumentar, para alimentar o mesmo número de cavalos. Portanto, dias e cavalos são grandezas diretamente proporcionais, setas com mesmo sentidos. Para isso, invertem-se os valores correspondentes da segunda grandeza(cavalos): $$ \frac {11}{x} = \frac {8}{15} \times \frac {2200}{1280} \Rightarrow $$ $$ x = \frac {11 \times 15 \times 1280}{8 \times 2200} \Rightarrow$$ $$ =12$$ Resposta. 12 dias.