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- Razões e Proporções
Razão é um número que representa uma relação entre duas grandezas. Este número pode ter a forma de uma fração ou de um número inteiro.
Usamos o conceito de razão para fazer comparação entre duas grandezas e para isto definimos uma ordem entre estas grandezas. Assim, formamos uma fração com os números correspondentes e dividimos uma grandeza pela outra. Com isto estamos comparando a grndeza que escolhemos como primeira com a segunda.
Definição de razão: Dado duas grandezas a e b, a razão entre a e b, com b diferente de zero, é o quociente entre a e b: $$\frac{a}{b}$$ ou a:b.
Exemplo 1.
Seja a = 18 e b = 12, qual a razão entre a e b?
$$\frac{a}{b} = \frac{18}{12}$$ mas $$\frac{18}{12} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$$ que são todas razões equivalentes. Primeiro, dividimos por 2, o menor número possível (com exceção do 0 e 1), e depois dividimos por 3, que era o mínimo possível que podíamos dividir tanto o numerador, quanto o denominador.
Assim, podemos dizer que $$\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$$ ou a:b = 3:2
Exemplo 2.
Estabeleça as razões em cada caso.
a) De cada 40 carros vistoriados, 15 estão em perfeitas condições.
b) Em cada 50 sapatos fabricados, um sai com defeito.
c) De cada 5 filmes, um é muito bom.
Solução.
a) $$razão=\frac{15}{40}=\frac{3}{8}=0,375$$
b) $$razão=\frac{1}{50}=0,02$$
c) $$razão=\frac{1}{5}=0,20$$
Proporção
Proporção é a igualdade entre duas razões (equivalências entre razões). Ou seja, se dizermos que as razões $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$ são iguais é o mesmo que dizer que elas formam uma proporção.
Propriedade fundamental da proporção
“O produto dos meios é igual ao produtos dos extremos”.
Então, ao escrevermos $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a\times d=b \times c; b,d \neq 0$$ dizemos que a e d são os extremos da proporção e b e c são os meios da proporção.
Exemplos 3.
- As razões $$\frac{18}{12}$$ e $$\frac{3}{2}$$ são iguais, logo determinam a proporção $$\frac{18}{12} = \frac{3}{2}$$ então $$12 \times 3 = 18 \times 2$$
- Determine o valor de x na proporção: $$\frac{2}{7} = \frac{12}{x}$$
Pela relação fundamental, temos: $$7 \times 12 = 2 \times x$$ ⇒ $$84 = 2x$$ ⇒ $$x = \frac{84}{2}$$ ⇒ $$x = 42$$
Exemplo 4
Dados os números 2, 7 e 10, determinar um quarto número que, junto com esses e nessa ordem, forme uma proporção.
Solução.
$$2:7::10:x$$ $$\frac{2}{7}=\frac{10}{x} \Rightarrow 2x= 10(7)$$ $$x=35$$ O número encontrado, no caso 35, é chamado de quarta proporcional.
Exemplo 5
Admita que, em dezembro de 2014, uma filha tinha 20 anos e seu pai, 50. Em dezembro de 2024, a razão entre as idades da filha e do pai será de:
A) 1/5 B) 1/2 C) 3/4 D) 4/3
Solução
Se em 2014 a filha tinha 20 anos e o pai, 50, em 2024 eles terão respectivamente 30 e 60 anos. Logo, a razão entre as idades deles será igual a: $$\frac{30}{60}=\frac{1}{2} $$ Resposta: B)
Exemplo 6
Em uma maquete de um condomínio, um de seus prédios de 80 metros de altura está com apenas 48 centímetros. A altura de um outro prédio de 110 metros nessa maquete, mantidas as devidas proporções, em centímetros, será de:
a) 56 b) 60 c) 66 d) 72 e) 78
Solução. $$\frac{48 cm}{80 m}=\frac{x cm}{110 m}\Rightarrow $$ $$x=\frac{48\cdot110}{80}=66$$ Resposta: c) 66 cm.
DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS
Diretamente proporcionais
Exemplo Modelo (Diretamente)
Dois sócios Antônio(A) e Bruno(B), tiveram um lucro de $ 440,00. Antônio trabalhou 6 horas e Bruno 5 horas. Como dividir o lucro de forma que cada um receba proporcionalmente as horas trabalhadas?
Solução.
Nesse caso, devemos dividir 440,00 em partes diretamente proporcionais a 6 e 5, horas trabalhadas. O recebimento do lucro é diretamente proporcional as horas trabalhadas. Equacionando, temos: $$A+B=440$$ $$ \frac{A}{6}= \frac{B}{5}$$ fazendo as substituições, temos: $$B=5\cdot \frac{A}{6}$$ $$A+5\cdot \frac{A}{6}=440$$ $$6A+5A=440\cdot6$$ $$11A=2640 \Rightarrow$$ $$ A=240,00$$ Cálculo da parte de B. $$A+B=440\Rightarrow 240+B=440\Rightarrow$$ $$ B=200,00$$ Resposta. Antônio deve receber 240,00 e Bruno 200,00.
Inversamente proporcionais
Exemplo Modelo(Inversamente)
Dois sócios Antônio(A) e Bruno(B), tiveram um lucro de $ 160,00. Antônio faltou ao trabalhou 3 dias e Bruno 5 dias. Como dividir o lucro de forma justa?
Solução.
Nesse caso, devemos dividir 160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, dias faltados no período do projeto. O recebimento do lucro é inversamente proporcional aos dias faltados. Equacionando, temos: $$A+B=160$$ $$ \frac{A}{\frac{1}{3}}=\frac{B}{\frac{1}{5}}$$ colocando B em evidência, temos: $$B=3\cdot \frac{A}{5}$$ substituindo na primeira equação, temos: $$A+3\cdot \frac{A}{5}=160$$ $$5A+3A=160\cdot5$$ $$8A=800 \Rightarrow$$ $$A=100,00$$ Cálculo da parte de B. $$A+B=160\Rightarrow 100+B=160\Rightarrow$$ $$ B=60,00$$ Resposta. Antônio deve receber 100,00 e Bruno 60,00.
Exemplo 7
O lucro de determinada firma foi dividido entre seus três sócios, na proporção de 3, 5 e 9. Sabendo que o segundo sócio recebeu $ 40.000,00 a mais do que o primeiro, pergunta-se qual foi o lucro total e quanto coube a cada sócio.
Solução.
Equacionando o problema. $$1) \frac{x}{3}= \frac{y}{5}=\frac{z}{9} $$ e $$2) y=x+40000$$ Colocando o x em evidência em relação a y na equação 1, temos: $$x=\frac{3y}{5}$$ Substituindo o x na segunda equação, temos: $$y= \frac{3y}{5}+40000$$ $$5y=3y+40000$$ $$2y=200000$$ $$y=100000$$ Substituindo o valor encontrado de y na equação 2, temos: $$100000=x+40000$$ $$x=60000$$ Substituindo o valor de x na proporção entre x e z (equação 1), temos: $$\frac{60000}{3}=\frac{z}{9}\Rightarrow z=180000$$ Somando x,y e z, temos: $$x+y+z=60000+100000+180000$$ $$x+y+z=340000$$
