PRODUTOS NOTÁVEIS

São produtos de polinômios muito usados no cálculo algébrico. Vejamos a seguir alguns casos especiais.

I. Quadrado da soma de dois números. $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$

II. Quadrado da diferença de dois números. $$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$

III. Produto da soma pela diferença de dois números. $$ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $$

IV. Cubo da soma de dois números. $$ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $$

V. Cubo da diferença de dois números. $$ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 $$

VI. Quadrado da soma de três números. $$ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $$

Exemplo 1. $$ (3+x)^2=? $$ Solução. Caso I.$$ (3+x)^2=3^2+2.3.x+x^2 $$ $$ (3+x)^2=9+6.x+x^2 $$

Exemplo 2. $$ (2-y)^2=? $$ Solução. Caso II.$$ (2-y)^2=2^2-2.2.y+y^2 $$ $$ (2-y)^2=4-4.y+y^2 $$

Exemplo 3. $$ (z+5)(z-5)^2=? $$ Solução. Caso III. $$ (z+5)(z-5)^2=z^2-5^2 $$ $$ (z+5)(z-5)^2=z^2-25 $$

Exemplo 4. $$ (2x+3y)^3=? $$ Solução. Caso IV.$$ (2x+3y)^3=(2x)^3+3(2x)^23y+3.2x.(3y)^2+(3y)^3 $$ $$ (2x)^3+3(2x)^2(3y)+3.2x.(3y)^2+(3y)^3 $$ $$ 8x^3+3.4x^2(3y)+3.2x.9y^2+27y^3 $$ $$ 8x^3+36x^2.y+54.x.y^2+27y^3 $$

Exemplo 5. $$ (2x-3y)^3=? $$ Solução. Caso V.$$ (2x+3y)^3=(2x)^3-3(2x)^23y+3.2x.(3y)^2-(3y)^3 $$ $$ (2x)^3-3(2x)^2(3y)+3.2x.(3y)^2-(3y)^3 $$ $$ 8x^3-3.4x^2(3y)+3.2x.9y^2-27y^3 $$ $$ 8x^3-36x^2.y+54.x.y^2-27y^3 $$

Exemplo 6. $$ (x^2+3y+5c)^2=? $$ Solução. Caso VI.$$ (x^2+3y+5c)^2=(x^2)^2+(3y)^2+(5c)^2+2(x^2)3y+2(x^2).5c+2(3y)5c $$ $$ x^4+9y^2+25c^2+6x^2y+10x^2c+30yc $$