Álgebra

Álgebra é um ramo da matemática na qual operamos com números, letras e símbolos, de acordo com regras estabelecidas. Na álgebra elementar as letras denotam números, de tal forma que, as leis das operações nas expressões com letras são baseadas nas leis gerais das operações com números.

O método algébrico, isso é, o método de cálculo com letras, penetra em toda a matemática. De fato, uma parte substancial da solução de um problema matemático, frequentemente, não deixa de ser outra coisa, que um problema algébrico mais ou menos complicado.

Algumas vezes estas letras serão chamadas de constantes e outras vezes serão chamadas de variáveis.

VARIÁVEIS E CONSTANTES
Denomina-se variável a letra que irá representar qualquer número ou um conjunto de números. Para representarmos as constantes geralmente usamos os próprios números ou as primeiras letras do alfabeto. Exemplos: a, b, c, ... . Para representarmos as variáveis geralmente usamos as letras finais do alfabeto. Exemplos: x,y,z,t,s ... .

Exemplo 1.
A fórmula para calcular o perímetro de um retângulo é: $$p=2x+2y$$ Onde x e y são os lados do retângulo(variáveis), p o perímetro e o número 2 é uma constante (ou coeficiente).

MONÔMIOS

Monômios são expressões algébricas representando o produto de constantes e variáveis.

Monômios semelhantes
Os monômios são ditos semelhantes quando a parte das variáveis de um são idênticas.

Exemplo 2.
Quais monômios são semelhantes.
a) 3x e 13x?
b) 0,5 az e 9 az?
c) 2abyz e 3abxz?
Solução.
a) 3x e 13x, são semelhantes.
b) 0,5 az e 9 az, são semelhantes.
c) 2abyz e 3abxz, não são semelhantes, o "x" e o "y" não estão nos dois monômios.

Operações com monômios

Adição. Para adicionar monômios semelhantes, somam-se as constantes e conserva-se a parte variável.

Exemplo 3.
Some os monômios abaixo.
a) 3x e 13x,
b) 0,5 az e 9 az.
c) ax²y² - bx²y² + cx²y²
d) 2abyz e 3abxz.
Solução.
a) $$3x+13x=(3+13)x=16x $$ b) $$0,5az+9az=(0,5+9)az=9,5az $$ c)$$ ax²y²-bx²y²+cx²y²=(a-b+c)x²y²$$ d) $$2abyz-3abxz$$ a regra não se aplica, não são semelhantes.

Subtração
Na subtração de monômios semelhantes, subtraem-se as constantes e conserva-se a parte literal.

Exemplo 4.
Subtraia os monômios abaixo.
a) $$ 5z-3z=?$$ b) $$ 2,5 az²-9 az² $$
c) $$ ax²y² - bx²y² + cx²y² $$ Solução.
a) $$ 5z-3z=(5-3)z=2z$$ b) $$ 2,5 az²-9 az²=(2,5-9)az²=-6,5az² $$ c)$$ax²y²-bx²y²+cx²y²=(a-b+c)x²y²$$

Multiplicação
Para multiplicar monômios devemos nos lembrar da propriedade da multiplicação de potências de mesma base.

Exemplo 5.
Multiplique os monômios abaixo.
a) $$ (5z)(3z)=?$$ b) $$ (5abz²)(-9axz²)=? $$ Solução.
a) $$ (5z)(3z)=(5.3)(z.z)=15z²$$ b) $$ (5abz²)(-9axz²)=? $$

Divisão
Para dividir polinômios precisamos nos lembrar da propriedade da divisão de potências de mesma base.

Exemplo 6.
Divida os monômios abaixo.
a) $$ (15z):(3z)=?$$ b) $$ (14abz²):(7axz²)=? $$ Solução.
a) $$ (15z):(3z)=\frac{15z}{3z}\Rightarrow$$ $$(15:3)(z:z)=(5)(1)=5$$ b) $$ (14abz²):(7axz²)=\frac{14abz²}{7axz²}\Rightarrow $$ $$ \frac{2b}{x} $$

MDC e MMC

Máximo divisor comum (MDC): fatores comuns com menores expoentes.

Exemplo 8
Determine o MDC das expressões.
a)$$ mdc(25 a² b⁵; 20 a⁴b²c) $$ b) $$mdc(2ab; 6a^2; 4a^3b^2)$$ Soluções.
a) Fatorando os coeficientes numéricos, temos: 5² a² b⁵ c²; 2² 5 a⁴b²cd
MDC: fatores comuns com menores expoentes. $$5 a² b² c$$ b)$$mdc(2ab; 6a^2; 4a^3b^2)$$ $$mdc(2ab; 2\cdot3a^2; 2^2a^3b^2)=2a$$

Mínimo múltiplo comum (MMC): fatores comuns e não comuns com maiores expoentes.

Exemplo 9
Determine o MMC da expressão.
$$ mmc(25 a² b⁵ c²; 20 a⁴b²cd) $$ Solução.
Fatorando os coeficientes numéricos, temos: 5² a² b⁵ c²; 2² 5 a⁴b²cd
MMC: fatores comuns e não comuns com maiores expoentes. $$2²5²a⁴b⁵c²d=100a⁴b⁵c²d$$

Exemplo 10
Determine o MMC da expressão.
$$mmc(2ab; 3a^2; 6a^2b^2)$$ Solução.
MMC: fatores comuns e não comuns com maiores expoentes. $$mmc(2ab; 3a^2; 6a^2b^2)=2\cdot3a²b²=6a²b²$$