Regime de capitalização simples

A Matemática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que, por sua vez, está interligado à existência de uma taxa de juros. Qualquer operação financeira deve estar estruturada em função do tempo e de uma taxa de juros (remuneração).

Dizemos que um capital cresce segundo um regime de capitalização simples, quando os juros gerados em cada período são iguais, e todos valem o produto do capital pela taxa de juros. Além disso, os juros são pagos somente no final da operação. Somente o capital inicialmente empregado é que rende juros; os juros não se agregam ao capital para formar juros no período seguinte. Os juros simples são empregados geralmente em operações de período curto, até cerca de um mês.

Capital(C). É o valor inicial de uma operação. Está representado no instante zero. Também pode ser chamado de valor de origem O, valor Principal P ou valor presente.

Taxa de juros periódica(I). Vem do inglês interest rate (taxa de juros). Geralmente, está relacionada à sua forma de incidência. Pode ser diária, semanal, quinzenal, mensal, semestral, anual, entre outras. Essa taxa é expressa em forma percentual. Exemplo: 5%.

i: a letra “ i “ minúscula indica que a taxa I foi dividida por cem. Exemplo: 5%=5/100=0,05.

Tempo(t): número de períodos envolvidos na operação. É o tempo, que deve estar em acordo com a taxa de juros.

Montante(M): valor Futuro, representado no instante n. É composto de amortização mais juros. Também pode ser chamado de valor de resgate ou saldo futuro S.
O montante (M) pago/recebido em n períodos é composto pelo valor Presente, ou de origem, mais o juros. $$M=C+J$$

EXEMPLO 1.
Qual o capital aplicado, no regime de juro simples, se o montante resgatado foi de 500 e o juros obtido foi de 40?
Solução.
Cálculo do capital aplicado. $$M=C+J \Rightarrow 500=C+40 \Rightarrow $$ $$C=500-40 \Rightarrow$$ $$ C=460 $$

Valor dos juros(J): juro incide sobre o saldo devedor do período anterior. Uma parcela de juros é obtida pela multiplicação do valor Presente P, ou de origem, pela taxa i e pelo tempo t.

3.1- Fórmula básica dos Juros simples e suas variações. M representa o valor Futuro ou final de uma operação cujo valor presente C ou original foi acrescido da taxa i (expressa em sua forma centesimal) t vezes de forma linear (juros simples).

Fórmula básica:
Juros simples(J)=capital(C).taxa(i).tempo(t)
$$J=C\cdot \frac{i}{100}\cdot t$$

Variações da fórmula:

a) $$C=\frac{100J}{i.t}$$

b) $$i=\frac{100J}{C.t}$$

c) $$t=\frac{100J}{C.i}$$

EXEMPLO 2.
Qual o juros produzido, após 18 períodos, de um capital de $ 400, aplicado a uma taxa de 5% ao período, no regime de juro simples?
Solução.
Cálculo dos juros.$$J=C.\frac{i}{100}.t=400.\frac{5}{100}.18 \Rightarrow$$ $$J=4.5.18=360$$ Resposta: $ J=360

EXEMPLO 3.
Qual é a taxa mensal de juros simples que deve incidir sobre um capital de 5000 para que este, em quatro meses e meio, renda 720?
Solução.
Cálculo da taxa mensal de juros. $$i=\frac{100J}{C.t}=\frac{100\cdot720}{5000\cdot4,5} \Rightarrow$$ $$i=\frac{72}{5\cdot4,5}= \Rightarrow$$ $$i=3,2\%$$

EXEMPLO 4.
Que capital inicial, em 50 dias, a uma taxa de 0,5% a.d.(lê-se "ao dia") rende 2000?
Solução.
Cálculo do capital inicial. $$C=\frac{100J}{i.t}=\frac{100\cdot2000}{0,5\cdot50} \Rightarrow $$ $$C=\frac{200000}{25} \Rightarrow $$ $$C=8000$$

EXEMPLO 5.
Calcular em quanto tempo um capital de 1200 renderá 144 de juros, quando aplicado a 3% a.m.(ao mês)?
Solução.Cálculo do tempo, em meses. $$t=\frac{100J}{C.i}=\frac{100\cdot144}{1200\cdot3}\Rightarrow$$ $$t=\frac{144}{36}=4\Rightarrow$$ Resposta: 4 meses.

EXEMPLO 6.
Qual o valor de resgate, após 12 períodos, de um capital de $ 200, aplicado a uma taxa de 5% ao período, no regime de juro simples?
Solução.
1^o Passo. Cálculo dos juros.$$J=C.\frac{i}{100}.t=200.\frac{5}{100}.12 \Rightarrow$$ $$J=2.5.12=120$$
2^o Passo. Cálculo do montante.$$M=C+J=200+120=320$$ Resposta: $ 320

EXEMPLO 7.
Um capital de $40, aplicado sob regime de juro simples, após 20 meses, foi resgatado por $ 120. Qual a taxa de juros nessa transação?
Solução.
1^o Passo. Cálculo do juros no período. $$M=C+J \Rightarrow J=M-C$$ $$J=120-40=80$$ 2^o Passo. Cálculo da taxa de juros. $$i=\frac{100J}{C.t}=\frac{100.80}{40.20}=\frac{8000}{800}$$ $$i=10$$ Resposta. i = 10% ao mês.

EXEMPLO 8.
Um capital, aplicado a 5% ao mês sob regime de juro simples, após 40 meses, foi resgatado por $ 300. Qual o valor do capital aplicado?
Solução.1^o Passo. Capital em função do J. $$300=J+C \Rightarrow C=300-J$$ 2^o Passo. Cálculo do juros. $$300-J=\frac{100J}{i.t}\Rightarrow$$ $$300-J=\frac{100J}{5.40}\Rightarrow$$ $$300.200-200J=100J\Rightarrow$$ $$60000=300J\Rightarrow J=200$$ 3^o Passo. Cálculo do capital. $$300=200+C \Rightarrow C=300-200=100$$ Resposta. 100

EXEMPLO 9.
Quantos meses de imobilização monetária serão necessários para que um capital de $ 100, aplicado a 4% ao mês, sob o regime de juro simples, seja resgatado por $ 200?
Solução.
1^o Passo. Cálculo de juros. $$200=J+100 \Rightarrow J=100$$ 2^o Passo. Cálculo do tempo. $$t=\frac{100J}{C.i}=\frac{100.100}{100.4}=25 $$Resposta: 25

EXEMPLO 10.
Qual o montante de um capital de $ 500 aplicado a uma taxa de 3% ao mês (juro simples) após 36 meses?
Solução.
1^o Passo. Cálculo de juros. $$J=C.\frac{i}{100}.t=500.\frac{3}{100}.36 \Rightarrow$$ $$J=5.3.36=540 $$ 2^o Passo. Cálculo do montante. $$M=C+J=500+540=1040$$ Resposta: $ 1.040,00

3.2- Taxas equivalentes. Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros simples, se aplicadas num mesmo capital e durante um mesmo intervalo de tempo, (múltipo dos tempos a que se referem as taxas) produzirem juros iguais.