Frações Algébricas

Frações algébricas são todas as expressões da forma: $$\frac{A(x)}{B(x)}$$ onde A(x) e B(x)≠0 e denotam uma expressão literal e/ou numérica. A(x) é chamado de numerador e B(x) denominador(divisor). Como as frações algébricas são formadas por números (alguns conhecidos, outros não), valem as propriedades das operações de números reais para elas.

Exemplo 1
Exemplo de frações algébricas.
a)$$ \frac{15a²x⁴}{21a⁵x³}$$ b)$$ \frac{2a²-ab-3b²}{2a²-5ab+3b²}$$

Multiplicação de frações algébricas
A multiplicação de fração algébrica segue o mesmo padrão da multiplicação de frações: multiplique numerador por numerador e denominador por denominador. Multiplique primeiramente os coeficientes, coloque o resultado numérico e parta para a multiplicação das letras.

Exemplo 2
Multiplique a fração algébrica.
$$ \frac{4a²b}{3c²d}\cdot \frac{2c²d²}{3b²}$$ Solução. Multiplicando termo a termo do numerador e denominador. $$ \frac{4a²b}{3c²d}\cdot \frac{2c²d²}{3b²}= \frac{(4\cdot2)a²bc²d²}{(3\cdot3)b²c²d} \Rightarrow$$ $$\frac{8a²bc²d²}{9b²c²d}= \frac{8a²d}{9b} $$

Exemplo 3
Multiplique a fração algébrica.
$$\frac{2a²-ab}{2a²-5ab}\cdot\frac{2a²}{5b}$$ Solução. Multiplicando termo a termo do numerador e denominador. $$\frac{2a²-ab}{2a²-5ab}\cdot \frac{2a²}{5b}\Rightarrow$$ $$=\frac{(2\cdot2)a^{2+2}-2a^{2+1}b}{(2\cdot5)a²b-(5\cdot5)ab^{1+1}}\Rightarrow$$ $$=\frac{4a^{4}-2a^{3}b}{10a²b-25ab^{2}}$$

Divisão de frações algébricas
Essa operação é exatamente igual à divisão de frações. Portanto, para realizá-la, multiplique a primeira fração algébrica pelo inverso da segunda.

Exemplo 4
Divida a fração algébrica. $$\frac{4a²b}{3c²d}:\frac{2c²d²}{3b²}$$ Solução. Invertendo a segunda fração e multiplicando. $$\frac{4a²b}{3c²d}\cdot\frac{3b²}{2c²d²}=\frac{12a²b^{1+2}}{6c^{2+2}d^{1+2}}\Rightarrow$$ $$=\frac{2a²b^{3}}{c^{4}d^{3}}$$

Exemplo 5
Divida a fração algébrica. $$\frac{2a²-ab}{2a²-5ab}:\frac{2a²}{5b}$$ Solução. Invertendo a segunda fração e multiplicando. $$=\frac{2a²-ab}{2a²-5ab}\cdot\frac{5b}{2a²}\Rightarrow$$ $$=\frac{10a²b-5ab²}{4a⁴-10a³b}$$

Adição e subtração de fração algébrica
De agora em diante utilizaremos apenas a palavra “adição” para representar as operações de soma e subtração, pois elas são realizadas da mesma maneira, levando em conta as regras de sinais para números inteiros, que também valem para os números reais. A adição de frações algébricas é dividida em dois casos e deve ser realizada do mesmo modo que a adição de frações numéricas.

1º caso: Quando os denominadores são iguais Se os denominadores forem iguais, realize a operação indicada (soma ou subtração) apenas com os numeradores e repita o denominador no resultado.

Exemplo 6
Some as frações algébricas. $$\frac{4a²b}{5cd}+\frac{3a²b}{5cd}=$$ Solução. Os denominadores são iguais. $$\frac{4a²b+3a²b}{5cd}=\frac{7a²b}{5cd}$$

Exemplo 7
Some as frações algébricas. $$\frac{4a²b}{6d}+\frac{2c²}{6d}$$ Solução. Os denominadores são iguais. $$\frac{4a²b+2c²}{6d}=\frac{2(2a²b+c²)}{6d}\Rightarrow$$ $$=\frac{2a²b+c²}{3d}$$

2º caso: Quando os denominadores são diferentes
Nesse caso, é necessário igualá-los antes. Para tanto, o procedimento é igual ao da soma de frações com denominadores diferentes. Encontre o MMC dos denominadores.

Exemplo 8
Some as frações algébricas. $$\frac{5ab}{c}+\frac{3ab}{d}$$ Solução. Os denominadores são diferentes. mmc(c; d)= cd $$\frac{(5ab)\cdot d+(3ab)\cdot c}{cd}\Rightarrow$$ $$\frac{5abd+3abc}{cd}\Rightarrow$$ $$\frac{ab(5d+3c)}{cd}$$

Exemplo 9
Some as frações algébricas. $$\frac{7ab}{2d}+\frac{abcd}{3cd²}$$ Solução. Os denominadores são diferentes. mmc(2d; 3cd²)= 6cd² $$\frac{7ab(3cd)+abcd(2)}{6cd²}$$ $$\frac{21abcd+2abcd}{6cd²}=\frac{23abcd}{6cd²}$$ $$\frac{23ab}{6d}$$

Potenciação de frações algébricas
A potenciação de frações é uma extensão da multiplicação de frações.

Exemplo 10
Calcule a potência algébrica.
$$(\frac{5ab}{2c})^2$$ Solução.
$$(\frac{5ab}{2c})^2=\frac{5ab}{2c}\cdot\frac{5ab}{2c}\Rightarrow$$ $$\frac{25a²b²}{4c²}$$

Exemplo 11
Calcule a potência algébrica.
$$(\frac{ab+3c}{d})^2$$ Solução. $$(\frac{ab+3c}{d})^2=\frac{ab+3c}{d}\cdot\frac{ab+3c}{d}\Rightarrow$$ $$=\frac{a²b²+6abc+9c²}{d²}$$