Fatoração

Aritmética. Fatorar um número é escrever este número na forma de um produto de números primos. Exemplo: 30=2.3.5.
Álgebra. Fatorar um polinômio é escrever este polinômio na forma de um produto de polinômios de menor grau. Exemplo: 3.x+2.x.y=x.(3+2y).

Aplicações Importantes
a) Na simplificação de algumas expressões e frações algébricas.
b) Resolução de equações. Podemos resolver equações fatorando e aplicando o fato de que um produto só é igual a zero se pelo menos um de seus fatores é zero.

Técnica do fator comum (colocar em evidência)
Quando os termos de um polinômio apresentam um ou mais fatores comuns, estes podem ser colocados em evidência. Exemplos: a) ab+ac=a(b+c)
b) 4x³+2x=2x(x²+1)

Exemplo 1
Simplifique a expressão. $$ \frac{6x²+9x}{3x³+3x}$$ Resolução.
Fatorando o numerador, temos:$$3x(2x+3)$$ Fatorando o denominador, temos:$$ 3x(x²+1)$$ Finalmente simplificando o termo 3x, temos:$$\frac{3x(2x+3)}{3x(x²+1)} \Rightarrow \frac{2x+3}{x²+1}$$

Técnica do agrupamento
A fatoração por agrupamento é decorrente da fatoração por evidência (fator comum), a única diferença é que, em vez de termos um monômio como fator comum ou fator em evidência, teremos um polinômio.

Exemplo. Fatore a expressão: $$(a + b)·rs+(a + b)· xz^2$$ O fator comum é o binômio (a + b), logo, a forma fatorada da expressão é:$$(a + b) · (rs + xz^2)$$

Exemplo 2
Fatore a expressão. $$7a²xy-14a⁵x³$$ Resolução.
Os fatores comuns são: 7 a²x
Colocando em evidência, temos:$$ 7 a²x(y-2a³x²)$$

Exemplo 3
Fatore a expressão. $$6x²y³-2uxy²+4u²xy$$ Resolução.
Os fatores comuns as três parcelas são: 2xy Colocando em evidência, temos: $$2xy.(6xy²-uy+2u²)$$

Exemplo 4
Fatore a expressão. $$ax+bx+ay+by$$ Resolução.
Colocando o x em evidência nas duas primeiras parcelas, temos: x(a+b)
Colocando o y em evidência na terceira e quarta parcela, temos: y(a+b) Agrupando novamente, temos: $$x(a+b)+y(a+b)$$ Colocando o (a+b) em evidência, na expressão de cima, temos:$$ (a+b)(x+y)$$

Exemplo 5
Fatore a expressão. $$10a³-6b³+4ab²-15a²b$$ Resolução.
Colocando em evidência os fatores comuns entre a 1a parcela e a 4a parcela, temos:$$ 5a²(2a-3b) $$ Colocando em evidência os fatores comuns entre a 2a parcela e a 3a parcela, temos: $$2b²(-3b+2a) ou 2b²(2a-3b)$$ Agrupando novamente, temos:$$ 5a²(2a-3b)+2b²(2a-3b)$$ Finalmente colocando em evidência o termo (2a-3b), temos: $$(2a-3b)(5a²+2b²)$$

Fatoração e produtos notáveis.
A utilização de produtos notáveis é muito importante para fatoração de diversas expressões.

Produtos notáveis: $$( a + b )^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$( a – b )^2 = a^2 – 2ab + a^2$$ $$( a + b ).( a – b ) =a^2 –b^2$$ $$(a+b)^3 =a^3+a^2b+3ab^2+b^3$$ $$(a-b)^3 = a^3-a^2b+3ab^2-b^3$$

Exemplo 6
Fatore a expressão.$$ 4+4x+x² $$Resolução.
Devemos observar que $$(2+x)²= 4+4x+x²$$ Resposta. $$(2+x)² ou (2+x)(2+x)$$

Exemplo 7
Sendo o número $$n = 684^2 – 683^2$$, a soma dos algarismos de n é:
a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
Resolução
Para determinar a soma dos algarismos de n, inicialmente fatorarmos a expressão, uma vez que calcular os quadrados e, em seguida, realizar a subtração geram trabalho desnecessário. Fatorando a expressão utilizando a diferença entre dois quadrados, temos:$$ n = 684^2 – 683^2 = (684 + 683) · (684 – 683)$$ $$ n = 1.367 · 1 $$ $$n = 1.367$$ Portanto, a soma dos algarismos de n é dada por 1 + 3 + 6 + 7 = 17

Exemplo 8
Determine o valor da expressão:$$ \frac{2009²-4}{2009+2}$$ Resolução
Com a intenção de facilitar a notação, vamos nomear a = 2.009 e b = 2. Lembre-se de que $$2^2 = 4$$, assim temos que: Veja que, no numerador da fração, temos a diferença entre dois quadrados, logo, podemos escrever$$ a^2 – b^2 = (a+b)(a–b)$$ $$ Logo: a – b = 2009 – 2 = 2007$$